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Det A = 0, Bedeutung

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Determinanten

Tags: Determinanten

Matze2021 aktiv_icon

19:11 Uhr, 20.02.2014

Hallo !

Wenn man eine quadratische Matrix hat und man möchte sich Gedanken machen, ob diese eine Lösung hat, dann ist es ja wohl erst einmal am einfachsten, wenn man sich die Determinante verschafft.

So wie ich es verstanden habe, gilt grundsätzlich: Ist die Determinante ungleich

0,

dann hat die Matrix eine Lösung.

Interessant finde ich den Fall, dass die Determinante Null ist.

Jetzt gibt es ja zwei Möglichkeiten: Entweder die Matrix hat keine Lösung oder eben unendlich viele. Woher weiß ich, welche der beiden Fälle vorliegt ?

Gruß Matze

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

19:29 Uhr, 20.02.2014

Hallo,

> dann hat die Matrix eine Lösung.

Äh, bitte was? Matrizen haben keine Lösung.
Gleichungen haben Lösungen (oder auch nicht).

Du meinst also Gleichungssysteme der Art

A \vec{x} = \vec{b}

mit zu den Vektoren

\vec{x}

und

\vec{b}

passender Matrix.

Tatsächlich gilt:

Ist

\det (A) \neq 0

, so ist

A

invertierbar. (Und dann ist

\vec{x} = A^{- 1} \vec{b}

die eindeutige Lösung des oben genannten Gleichungssystems)

Wenn

\det (A) = 0

gilt, dann gibt es eben keine eindeutige Lösung.
Das kann bedeuten, dass es keine Lösung gibt (wenn nämlich

\vec{b} \notin Im (A)

gilt), oder, dass es mehrere Lösungen gibt (nämmlich dann, wenn

\vec{b} \in Im (A)

gilt).

Und ja, diese absolute Grundlage sollte einem in jeder Grundvorlesung (lineare Algebra oder Mathe I für Nichtmathematiker) beigebracht werden. Du hast also irgendwas verpasst.

Mfg Michael

Matze2021 aktiv_icon

19:59 Uhr, 20.02.2014

Hallo Michael !

Danke für die Hilfe, die keine war.

Nochmals meine Frage, jetzt etwas genauer:

Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Man möchte nicht feststellen, was die konkrete Lösung des LGS ist, sondern man möchte sich zunächst Gedanken machen, ob es denn überhaupt eine Lösung gibt.

Wir erinnern uns: Ein LGS kann keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben.

Dazu erstellt man aus den Koeffizienten der Unbekannten eine Matrix (also nicht die erweiterte). Zur Erinnerung: Jede Gleichung hat die Form ax1

+

bx2

+

cx3

= d

Die Matrix wird nun derart untersucht, dass ich ihre Determinante errechne (Stichwort Jägerzaun). Wenn ich nun als Determinante meiner Matrix eine Null erhalte, so bedeutet dies, dass die Matrix angeblich keine Lösung liefert, also das LGS nicht lösbar ist....

In manchen Fällen bedeutet es aber auch (wie ich bereits feststellte), dass das LGS in einem solchen Fall auch unendlich viele Lösungen haben kann. In beiden Fällen ist nämlich die Determinante der Matrix

= 0

.

Meine Frage ist nun, wie ich nun feststellen kann, welche der beiden Möglichkeiten die Vorliegende ist. Wenn Du mir hierzu Auskunft geben könntest und dafür weniger zu angeblich verpassten Vorlesungen, dann gebührt Dir mein Dank.

Viele Grüße

von Mathias

Mathe45

20:09 Uhr, 20.02.2014

Im Skriptum steht es kurz und einfach ( Falls die Begriffe "Rang einer Matrix", "Systemmatrix" und "erweiterte Systemmatrix" verinnerlicht worden sind )

michaL aktiv_icon

20:10 Uhr, 20.02.2014

Hallo,

sie mag DIR keine Hilfe gewesen sein, aber anderen?!
Immerhin ist mir jetzt klar, was dein Problem ist.
Ok, also speziell für dich:
Wennn der Rang der erweiterten Matrix

A, \vec{b}

gleich dem Rang von

A

ist, dann gibt es mindestens eine Lösung, sonst nicht.

Mfg Michael

Matze2021 aktiv_icon

20:12 Uhr, 20.02.2014

Hallo !

Das klingt interessant...ich habe allerdings nur zur Kenntnis genommen, dass eine Matrix einen Rang hat...damit gemacht habe ich noch nichts und was das ist weiß ich auch nicht.

Ist es Deiner Meinung überhaupt möglich, allein aus der Information, dass die Determinante 0 ist, zu schließen, ob es sich um den Fall handelt, in dem es keine Lösung gibt oder ob es sich um den Fall handelt, bei dem das "unendlich viele" Lösungen bedeutet ?

Matze

Mathe45

20:23 Uhr, 20.02.2014

Um die Begriffe Rang, Systemmatrix, erweiterte Systemmatrix wird man nicht herum können.
Zu deinem Sonderfall ( quadratische Systemmatrix

) :

Ist die dazugehörige Determinante

0,

so gibt es ENTWEDER unendlich viele Lösungen ODER keine Lösungen. Erst die erweiterte Systemmatrix liefert die Entscheidung ( siehe Zusammenfassung weiter oben ).

michaL aktiv_icon

20:59 Uhr, 20.02.2014

Hallo,

offenbar hängt es entscheidend von

\vec{b}

ab, ob Lösungen existieren oder nicht. Insofern reicht die Information

\det (A) = 0

nicht aus, um die beiden Fälle zu unterscheiden.
Aber: alles Grundlagen, sollte also in der Mitschrift stehen.

Mfg Michael

Matze2021 aktiv_icon

23:55 Uhr, 20.02.2014

Hallo Reinhard !

Vielen Dank für Deine Mithilfe. Die Antworten sind sehr hilfreich.

Zum besseren Verständnis der Herkunft meiner Fragen:
Ich habe hier ein Übungsbuch, das in den 90er Jahren für den LK Mathematik an der Oberstufe benutzt wurde. Wir sind also streng genommen noch in einem Bereich, der zumindest früher für Oberstufenstoff gehalten wurde.

Ich habe hier Aufgaben, die zur Determinante hinführen sollen. Das sehe ich, wenn ich ein, zwei Seiten weiterlese....aber eigentlich arbeitet man ein Buch systematisch durch. Und dort wo diese Aufgabe vorgelegt wird, kennt der Übende den Begriff Determinante noch nicht ( es handelt sich um ein Buch der Reihe Lambacher und Schweizer ).

Der Aufgabensteller hat mir folgende Aufgabe gegeben:

4 x 1 - 2 x 2 + \frac{1}{3} x 3 = 0

ax1

+ 6 x 2 - x 3 = 0

5 x 1 + 2 x 2 + 7 x 3 = 4 a

Der Aufgabensteller möchte nun, dass ich das a so bestimme, dass das LGS eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat.

Wie man das macht, wenn man wie hier in meinem Aufgabenbuch an dieser Stelle die Determinante eben noch gar nicht kennt, sondern erst auf den folgenden Seiten kennenlernen wird, frage ich mich in der Tat.

Ich habe deshalb einen Weg gesucht, wie ich das Problem erschlagen kann. Und zwar ohne dass ich mir hier die Ebenen vorstelle und mich frage, ob sie sich in einer Geraden, in einem Punkt oder gar nicht schneiden.

Wenn ich die Determinante bestimme, kommt ein Wert in Abhängigkeit von a heraus. In diesem Fall ist es ein linearer Ausdruck, den man Null setzen kann. Das heißt, dass für jedes

a,

für das die Determinante nicht Null ist, genau eine Lösung existiert. Das kriegt man ja raus, ohne das man das rechenfehleranfällige Gaussverfahren anwendet, also das LGS auf Stufenform bringt.... (ich verrechne mich dabei nämlich gerne mal irgendwo unterwegs).

Nun ist es so, dass ich also ein a bestimmen kann, so dass die Determinante 0 wird. Und das ist die notwendige Bedingung für keine oder für unendlich viele Lösungen. Was ich jetzt suche, ist also die hinreichende Bedingung dafür, dass die Koeffizientenmatrix zu eben keiner oder eben unendlich vielen Lösungen führt.

Und hier ist deshalb meine Frage an Euch, wie ich an so ein hinreichendes Kriterium herankommen kann. Denn die Tatsache, dass die Determinante Null ist, sagt ja eben noch nicht eindeutig aus, was Sache ist. Geht das nur über den Rang ?

Grüße

von Matze

Mathe45

08:59 Uhr, 21.02.2014

Bis jetzt lag das Augenmerk ja nur auf der "Systemmatrix", also die Matrix, die aus den Koeffizienten der Unbekannten gebildet wird. Da diese Matrix im vorliegenden Fall quadratisch ist, läßt sich die Determinante bilden und berechnen.

D = | \begin{matrix} 4 & - 2 & \frac{1}{3} \\ a & 6 & - 1 \\ 5 & 2 & 7 \end{matrix} | = \frac{44}{3} \cdot (a + 12)

Allerdings stehen ja auch rechts vom Gleichheitszeichen Werte, die zur Lösbarkeit ( bzw. Unlösbarkeit ) des LGS beitragen. Ich könnte nun diese Werte nehmen und daraus "neue" Determinanten basteln.
Ersetze ich die erste Spalte unserer Systemdeterminante durch die Werte "rechts", so erhalte ich

D_{x} = | \begin{matrix} 0 & - 2 & \frac{1}{3} \\ 0 & 6 & - 1 \\ 4 \cdot a & 2 & 7 \end{matrix} | = 0

Die Bezeichnung

D_{x}

deshalb, weil die Spalte für die Unbekannte

x

"manipuliert" wurde.

Weiters

D_{y} = | \begin{matrix} 4 & 0 & \frac{1}{3} \\ a & 0 & - 1 \\ 5 & 4 \cdot a & 7 \end{matrix} | = \frac{4}{3} \cdot a \cdot (a + 12)

D_{z} = | \begin{matrix} 4 & - 2 & 0 \\ a & 6 & 0 \\ 5 & 2 & 4 \cdot a \end{matrix} | = 8 \cdot a \cdot (a + 12)

Löse ich nun das LGS mit herkömmlichen Methoden, so komme ich zur erstaunlichen Erkenntnis, dass sich Folgendes ergibt:

x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D}, z = \frac{D_{z}}{D}

Diese Erkenntnis hat natürlich in der Mathematik einen festen Platz und heißt Cramersche Regel ( siehe auch de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_Regel )

Und nun zur Argumentation der Lösbarkeit
Da

D

stets im Nenner auftritt, so wissen wir sicher: Ist

D \neq 0,

so haben wir stets genau eine Lösung ( besser gesagt: genau einen Lösungswert für

x, y

und

z)

. Natürlich könnte für

x, y

oder

z

auch einmal der Wert 0 richtig sein.

Ist

D = 0 (

durch 0 dividieren ist "verboten"

!),

so ist es aus mit der eindeutigen Lösbarkeit. Gilt

D_{x} \neq 0, D_{y} \neq 0

und

D_{z} \neq 0,

aber

D = 0,

dann gibt es wirklich keine Lösungen.

Gilt aber auch

D_{x} = 0, D_{y} = 0, D_{z} = 0,

so gelangen wir auf ein heikles Gebiet, denn Brüche der Form

\frac{0}{0}

gelten in der Mathematik als "unbestimmt" und lassen - theoretisch - unendlich viele Lösungen zu.

Jetzt zu unserem speziellen Beispiel. Man erhält formal die Lösungen:

x = \frac{0 \cdot 3}{44 \cdot (a + 12)}

y = \frac{4 \cdot a \cdot (a + 12) \cdot 3}{3 \cdot 44 \cdot (a + 12)}

z = \frac{8 \cdot a \cdot (a + 12) \cdot 3}{44 \cdot (a + 12)}

Wann gibt es Probleme? Offensichtlich dann, wenn gilt:

a + 12 = 0 \Rightarrow a = - 12

Schließen wir diesen Wert aus, so können wir sagen
Für

a \neq - 12

hat unser LGS eine eindeutige Lösung.

Ist nun aber

a = - 12,

so läßt sich schnell überprüfen, dass die jeweiligen Zähler der Lösungsbrüche auch 0 sind, es gibt also unendlich viele Lösungen.
Warum? Ersetzen wir a durch

- 12,

so erkennen wir, dass die erste und zweite Gleichung lösungsäquivalent sind ( also de fakto nur eine Gleichung darstellen ). Das LGS ist daher "unterbestimmt". In einem solchen Fall "erklären" wir eine Unbekannte

(z . B

x)

zum Parameter und drücken die anderen Unbekannten durch

x

aus.
Also

a = - 12 \Rightarrow y = \frac{1}{44} \cdot (79 \cdot x - 48)

z = - \frac{9}{22} \cdot (3 \cdot x + 16)

Ist

a \neq - 12 \Rightarrow x = 0

y = \frac{a}{11}

z = \frac{6}{11} \cdot a

\cdot)

Rechnungen überprüfen und nachvollziehen

\cdot)

Die Argumentation ist eher "unmathematisch" und dient der Veranschaulichung ( Sage ich nur wegen der "überkritischen" Forenbesucher.).

\cdot)

Irgendwann landet man dann wieder bei der Kurzzusammenfassung aus dem Skriptum ( siehe weiter oben)

Matze2021 aktiv_icon

11:31 Uhr, 21.02.2014

Hallo Reinhard !

Ganz herzlichen Dank für die Erläuterung....so kann man in der Tat zügig zu einer vernünftigen Beurteilung kommen.

Ich werde mich eingehender damit beschäftigen müssen und das werde ich auch auf Grundlage Deines Textes tun.

Viele Grüße und herzlichen Dank für die kompetente Hilfe.

Mathias

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