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Determinante

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Tags: Körper

Haribo24 aktiv_icon

23:10 Uhr, 26.09.2023

Hey wie kann ich die determinante über

ℤ_{7}

berechnen?
Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

Haribo24 aktiv_icon

13:25 Uhr, 27.09.2023

Könnte mir jemand helfen ? Wäre sehr dankbar

Sukomaki aktiv_icon

14:41 Uhr, 27.09.2023

Ich habe noch nie eine Determinante über

ℤ_{7}

berechnet, aber ich gehe mal einfach davon aus, dass die Determinante konservativ berechnet wird und das Ergebnis mod

7

ausgewertet wird.

Hattet Ihr schon den laplace´schen Entwicklungssatz in der Vorlesung?

Er besagt, dass

\det A = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + j} \cdot a_{i j} \cdot {\det A}_{i j}

(Entwicklung nach der j-ten Spalte)

wobei

A_{i j}

die (n-1)x(n-1)-Untermatrix von

A

ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.

Für Deine Matrix bedeutet das :

\det (\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 6 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 5 \end{array}) = 1 \cdot \det (\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 3 \\ 6 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}) - 0 \cdot \det (\begin{array}{rcl} 1 & 5 & 4 \\ 6 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}) + 2 \cdot \det (\begin{array}{rcl} 1 & 5 & 4 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}) - \dots

Im Folgenden gehe ich davon aus, dass Du die Determinante für

n = 2

im Kopf hast.

Wenn nicht : Es ist

\det (\begin{array}{rcl} a & b \\ c & d \end{array}) = a d - b c

= 1 \cdot \det (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 2 & 5 \end{array}) - 6 \cdot \det (\begin{array}{rcl} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array}) + 1 \cdot \det (\begin{array}{rcl} 1 & 3 \\ 1 & 0 \end{array}) + 2 \cdot \det (\begin{array}{rcl} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array}) - \dots

= 1 \cdot 5 - 6 \cdot (- 1) + 1 \cdot (- 3) + \dots

Und zum Schluss das Resultat noch modulo

7

bilden.

> "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg."

Ich benutze die Pünktchen, um Dir nicht alle Arbeit abzunehmen.

Gruß
Sukomaki

HAL9000

09:03 Uhr, 28.09.2023

Bei konkreten Rechnungen sollte man Laplace eher nur dann anwenden, wenn die Entwicklungszeile nur dünn besetzt ist, d.h. nur sehr wenige Nichtnulleinträge besitzt - ansonsten "fasert" die Rechnung zu sehr auf mit zu vielen noch zu berechnenden Unterdeterminanten. Also besser erstmal Zeilen- oder Spaltenumformungen mit dem Ziel, möglichst viele Nullen in einer Zeile oder Spalte zu erzeugen - am besten soweit, dass nur noch ein Nichtnullelement dort verbleibt. Zu beachten ist, dass dabei eine evtl. nötige Division durch eine Zahl

q

hier modulo 7 einer Multiplikation mit dem inversen Element

q^{- 1}

entspricht.

Konkret bekommt man hier etwa durch Subtraktion der Zeilen

(I I I) - 2 \cdot (I)

und

(I V) - 3 \cdot (I)

zunächst

\det (\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 6 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 5 \end{array}) = \det (\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 9 & - 8 \\ 0 & - 2 & - 13 & - 7 \end{array}) = 1 \cdot \det (\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 0 \end{array})

Im letzten Schritt habe ich zwei Dinge gemacht: Zum einen die Laplace-Entwicklung nach der ersten Spalte, und dann die Ersetzung einiger Matrixeinträge durch äquivalente Werte modulo 7. Letzteres ist nicht zwingend nötig, erleichtert aber meist die weitere Rechnung.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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