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Determinante Funktionalmatrix Polarkoordinaten

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Determinanten

Matrizenrechnung

Tags: Determinant, Differentiation, Matrizenrechnung, Polarkoordinaten, Polarkoordinatendarstellung

Alnura aktiv_icon

23:19 Uhr, 30.12.2018

Hallo,
Ich arbeite an einer Aufgabe aus Forster: Analysis 3. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Der zusammenhang der 4-dimensionalen Polarkoordinaten

(r, ϑ_{1}, ϑ_{2}, φ)

mit den kartesischen Koordinaten

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})

ist gegeben durch:

x_{1} = r \cdot {sin ϑ}_{1} \cdot {sin ϑ}_{2} \cdot cos φ

x_{2} = r \cdot {sin ϑ}_{1} \cdot {sin ϑ}_{2} \cdot sin φ

x_{3} = r \cdot {sin ϑ}_{1} \cdot {cos ϑ}_{2}

x_{4} = r \cdot {cos ϑ}_{1}

Nun soll die Funktionalematrix

\frac{\partial (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})}{\partial (r, ϑ_{1}, ϑ_{2}, φ)}

berechnet werden sowie ihre Determinante.
Die Funktionalmatrix habe ich wiefolgt bestimmt:

(\begin{matrix} {sin ϑ}_{1} {sin ϑ}_{2} cos φ & r {cos ϑ}_{1} {sin ϑ}_{2} cos φ & r {sin ϑ}_{1} {cos ϑ}_{2} cos φ & - r {sin ϑ}_{1} {sin ϑ}_{2} sin φ \\ {sin ϑ}_{1} {sin ϑ}_{2} sin φ & r {cos ϑ}_{1} {sin ϑ}_{2} sin φ & r {sin ϑ}_{1} {cos ϑ}_{2} sin φ & r {sin ϑ}_{1} {sin ϑ}_{2} cos φ \\ {sin ϑ}_{1} {cos ϑ}_{2} & r {cos ϑ}_{1} {cos ϑ}_{2} & - r {sin ϑ}_{1} {sin ϑ}_{2} & 0 \\ {cos ϑ}_{1} & - r {sin ϑ}_{1} & 0 & 0 \end{matrix})

(Ich hoffe es ist kein Tippfehler drinnen :-) ) Okay, nun soll ich die Determinante berechnen. Wie das grundsätzlich geht weiß ich natürlich, aber hier kommen ziemlich lange nervige Terme raus und ich die Lösung sollte eigentlich ziemlich kurz sein. Wegen der Multilinearität der Determinante kann ich auf jeden Fall

r^{3}

"rausziehen", aber gibt es noch weitere Tricks, sodass sich vielleicht einige Terme durch Rechenregeln für sin und

cos

wegkürzen, welche ich übersehen habe? Vielen Dank schon mal :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

23:53 Uhr, 30.12.2018

\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin (2 x)

könnte nützlich werden

godzilla12 aktiv_icon

02:08 Uhr, 31.12.2018

Wie man die Inverse der Jacobimatrix

J (\in 3 D

Kugelkoordinaten ) berechnet, findest du sehr anschaulich im " Kuhrand " ( Courant / Hilbert , Band

2)

Auf den Schultern von Riesen habe ich weiter gesehen; ich habe das Verfahren optimiert. Bei deiner Determinante werden sich meine forschungen als sehr lehrreich erweisen.

J := \frac{\partial (x_{1}, x_{2}, x_{3}; x_{4})}{\partial (r, θ_{1}, θ_{2}, φ)} (1 a)

Das Ei des Godzilla; jetzt gehst du her und betrachtest die Hermitesch konjugierte

det (J^{+}) = det (J) (1 b)

Ich intressiere mich jetzt für die Hermitesche Matrix

H

H := J^{+} J (2 a)

Auf Grund des Determinanten_Multiplikationssatzes folgt aus

(1 b)

det (H) = {det}^{2} (J) (2 b)

Aber was haben wir damit gewonnen? Vor mir ist noch niemandem aufgefallen, dass

H

in der Tat eine Diagonalmatrix ist:

H (1; 1) =

sin²(theta_1)(sin²(theta_2)(cos²(phi)

+

sin²(phi))

+

cos²(theta_2))

+ {cos}^{2} (θ_{1}) = 1 (3 a)

Hier warum kann der auf einmal keine griechischen Buchstaben mehr?

H (1; 2) = r sin (θ_{1}) cos (θ_{1}) [

sin²(theta_2)(cos²(phi)+sin²(phi))

+

cos²(theta_2)

] - r sin (θ_{1}) cos (θ_{1}) = 0 (3 b)

H (1; 3) = r {sin}^{2} (θ_{1}) sin (θ_{2}) cos (θ_{2}) [{sin}^{2} (φ) + {cos}^{2} (φ) - 1] = 0 (3 c)

Dass

H (1; 4)

verschwindet, siehrt man ja auf einen Blick.

H (2; 2) = r^{2}; H (3; 3) = r

{sin}^{2} (θ_{1}); H (4; 4) = r

{sin}^{2} (θ_{1}) {sin}^{2} (θ_{2}) (4 a)

so dass sich die Determinante der Jacobimarix belaufen dürfte auf

det (J) = r

{sin}^{2} (θ_{1}) sin (θ_{2}) (4 b)

Der beste Fremdsprachenkurs aller Zeiten ist der Franzkurs " Les

Γ s

"

Annahme; die außerirdischen

Γ s

vom Planeten

Γ

seien mit ihrer Weltraumkugel in Burgund abgestürzt.
Hier ich hab raus gekriegt, warum dass die

Γ s

heißen. wie jeder weip, ist eine Weltraumkugel aber mindestens

4 D,

wenn nicht n-dimensional.
Der Chefredakteur erkundigt sich; wie berechnet man das Volumen einer n-Kugel? siehe Wiki , siehe Kuhrand. Über die eulersche GAMMAFUNKTION .

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