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Determinante berechnen

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Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

PatrickLindner aktiv_icon

09:49 Uhr, 04.05.2021

Guten Morgen allerseits. Ich soll die Determinante der folgenden Matrix berechnen:

A = (\begin{matrix} 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & ... & 2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & ... & 3 & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 20 & 20 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 21 & 0 & 0 & ... & 0 & 1 \end{matrix}) \in ℝ^{(21,21)}

Ich denke mal, dass es hier einen Trick gibt, oder? Sonst würde man sich ja einen Wolf rechnen... Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

VG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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09:52 Uhr, 04.05.2021

Det ändert sich nicht, wenn du die 1. Zeile von der 2. abziehst. Oder die 2. Zeile von der 3. Usw.

PatrickLindner aktiv_icon

09:57 Uhr, 04.05.2021

det (A) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot ... \cdot 21

ist dann doch die Lösung oder?

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10:05 Uhr, 04.05.2021

Ich glaube ja, aber die Frage ist, ob du es auch richtig berechnet hast.

PatrickLindner aktiv_icon

10:07 Uhr, 04.05.2021

Also mit

det A = {det A}^{T}

kann man ja nicht folgern oder?

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10:13 Uhr, 04.05.2021

UPDATE. Korrigiert.

\det (A) = \det (A^{t})

stimmt, nur macht es aus meiner Sicht nicht unbedingt einfacher.
Man kann

2

aus der 2. Zeile ziehen,

3

aus der dritten usw. Danach bleibt eine Matrix nur mir 1 oder 0 (bis auf die letzte Zeile!).

2 \cdot 3 \cdot . . . \cdot 20

ist dann ein Vorfaktor.

PatrickLindner aktiv_icon

10:20 Uhr, 04.05.2021

Du hast dabei den Laplace'schen Entwicklungssatz angewandt, oder?

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10:43 Uhr, 04.05.2021

Am Ende ja

PatrickLindner aktiv_icon

10:53 Uhr, 04.05.2021

Was ist denn, wenn ich bei der Matrix die erste Spalte mit der

21 .,

die zweite Spalte mit der

20

. usw. tausche? Dann erhalte ich doch eine untere Dreiecksmatrix mit der 1 unten links.

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11:12 Uhr, 04.05.2021

Mit Vertauschung der eben genannten Spalten komme ich auch auf die richtige Lösung...

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11:12 Uhr, 04.05.2021

Mit Vertauschung der eben genannten Spalten komme ich auch auf die richtige Lösung...

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11:12 Uhr, 04.05.2021

Mit Vertauschung der eben genannten Spalten komme ich auch auf die richtige Lösung...

PatrickLindner aktiv_icon

11:13 Uhr, 04.05.2021

Oder nicht?

DrBoogie aktiv_icon

11:13 Uhr, 04.05.2021

Und was bringt es?
Übrigens, beim Tausch ändert sich das Vorzeichen.

Nach meinem Vorschlag hat man

2 \cdot 3 \cdot . . . \cdot 20

mal Det der Matrix
111...111
111...110
111...100
.........
110...000
21....001

Dann von der vorvorletzten die vorletzte Zeile abziehen usw. bis von der 1. Zeile die 2. abgezogen wird.

000...001
000...010
000...100
.........
110...000
21....001

Und jetzt nach Laplace nach der ersten Spalte:
21 mal Det von
000...001
000...010
.........
100...000

- Det von
000...001
000...010
.........
000...001

Die 2. Det ist 0. Die 1. Det ist 1.

Ich komme also insgesamt auf

21!

PatrickLindner aktiv_icon

11:49 Uhr, 04.05.2021

Ok, danke. Hast mir sehr geholfen. Ist jetzt klar geworden!

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