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Determinante berechnen

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Determinanten

Tags: Determinanten

boesesmathe aktiv_icon

00:15 Uhr, 22.12.2011

hallo ich komme leider nicht drauf wie ich das berechnen soll :

Für welche Werte a Element IR hat die Determinante ( SIEHE UNTEN ) den Wert 0 ?

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | 1; . .

2; ...

3; ... ... ... ... ...

0; |

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | 0; . .

2; ...

0; ... ... ... ... ...

1; |

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | 2; . .

4; ...

(a + 6); ... . .

0; |

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... | 0;

- 6; ...

0; ... . .

(a - 8); |

Danke im Vorraus

michaL aktiv_icon

00:29 Uhr, 22.12.2011

Hallo,

berechne doch einfach die Determinante. Damit meine ich, dass ein Term (in der Variable

a

) herauskommt, nicht eine Zahl.
Und dann musst du die Frage beantworten, für welche

a

der Term Null ergibt.
Was ist daran kompliziert?

Mfg Michael

boesesmathe aktiv_icon

00:35 Uhr, 22.12.2011

yoa ohne einen ansatz oder so versteh ich hier chinesisch

michaL aktiv_icon

00:39 Uhr, 22.12.2011

Hallo,

scheint, als müsstest du dich informieren. Beginne doch mal mit einer Suche im Netz nach Determinante oder Entwicklung und Laplace.

Viel Erfolg!

Mfg Michael

DerDepp aktiv_icon

12:35 Uhr, 22.12.2011

Hossa ;-)

Eine Determinante kann man rekursiv berechnen, indem man sie in immer kleinere Determinanten zerlegt. Ich führe das hier ausführlich anhand deiner Determinante

D

vor:

D = ∣ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & a + 6 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & a - 8 \end{array} ∣

Im ersten Schritt sucht man sich eine beliebige Reihe (=Spalte oder Zeile) aus, nach der man die Determinante "auflösen" möchte. Je mehr Nullen diese Reihe hat, desto weniger Schreib- und Rechenarbeit hat man. Ich wähle hier willkürlich die dritte Spalte. Man geht nun die gewählte Reihe entlang, und schreibt die Werte nebeneinander hin:

D = ∣ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & a + 6 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & a - 8 \end{array} ∣ = \circ 3 \cdot \circ 0 \cdot \circ (a + 6) \cdot \circ 0 \cdot

Das

\circ

steht dabei für ein Vorzeichen, Plus oder Minus. Dieses richtet sich nach der Position des Entwicklungselementes in der Matrix. Ist die Summe aus Zeilen- und Spaltenposition gerade, so wird ein Plus geschrieben, sonst ein Minus. Für eine 4x4-Determinante sieht das Vorzeichenmuster dann so aus:

∣ \begin{array}{cccc} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} ∣

Mit Vorzeichen haben wir jetzt also:

D = ∣ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & a + 6 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & a - 8 \end{array} ∣ = + 3 \cdot - 0 \cdot + (a + 6) \cdot - 0 \cdot

Hinter diese Zahlen schreibt man nun neue Determinanten, die aber um jeweils eine Zeile und Spalte verkleinert sind. Diese Determinanten entstehen, indem man die Zeile und die Spalte, in der das Entwicklungselement steht, streicht. Im Folgenden ist das Entwicklungselement in eckigen Klammern geschrieben und alle Elemente, die wegfallen, sind unterstrichen:

∣ \begin{array}{cccc} \underline{1} & \underline{2} & \underline{[3]} & \underline{0} \\ 0 & 2 & \underline{0} & 1 \\ 2 & 4 & \underline{a + 6} & 0 \\ 0 & - 6 & \underline{0} & a - 8 \end{array} ∣ ∣ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \underline{3} & 0 \\ \underline{0} & \underline{2} & \underline{[0]} & \underline{1} \\ 2 & 4 & \underline{a + 6} & 0 \\ 0 & - 6 & \underline{0} & a - 8 \end{array} ∣ ∣ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \underline{3} & 0 \\ 0 & 2 & \underline{0} & 1 \\ \underline{2} & \underline{4} & \underline{[a + 6]} & \underline{0} \\ 0 & - 6 & \underline{0} & a - 8 \end{array} ∣ ∣ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & \underline{3} & 0 \\ 0 & 2 & \underline{0} & 1 \\ 2 & 4 & \underline{a + 6} & 0 \\ \underline{0} & \underline{- 6} & \underline{[0]} & \underline{a - 8} \end{array} ∣

Damit ist der erste Rekursionsschritt abgeschlossen:

D = ∣ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & a + 6 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & a - 8 \end{array} ∣ = + 3 \cdot ∣ \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & - 6 & a - 8 \end{array} ∣ - 0 \cdot ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & - 6 & a - 8 \end{array} ∣ + (a + 6) \cdot ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & - 6 & a - 8 \end{array} ∣ - 0 \cdot ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{array} ∣

Jetzt wird auch klar, warum die ausgewählte Entwicklungsreihe möglichst viele Nullen haben sollte. Weil Null mal irgendwas wieder Null ergibt, fallen zwei der neuen Determinanten weg:

D = 3 \cdot ∣ \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & - 6 & a - 8 \end{array} ∣ + (a + 6) \cdot ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & - 6 & a - 8 \end{array} ∣

Im nächsten Rekursionsschritt entstehen, nach demselben Verfahren wie oben, aus den 3x3-Determinanten einfache 2x2-Determinanten:

∣ \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & - 6 & a - 8 \end{array} ∣ = - 2 \cdot ∣ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 6 & a - 8 \end{array} ∣; ∣ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & - 6 & a - 8 \end{array} ∣ = + 1 \cdot ∣ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 6 & a - 8 \end{array} ∣

Die erste 3x3-Determinante wird nach der ersten Spalte entwickelt, weil sie 2 Nullen hat. Das Entwicklungselement 2 dieser Spalte erhält negatives Vorzeichen, weil es in Spalte 1, Zeile 2 sitzt und 1+2=3 ungerade ist. Die Zeile und die Spalte, in der sich das Entwicklungselement 2 befindet werden weg gelassen.

Die zweite 3x3-Determinante wird ebenfalls nach der ersten Spalte entwickelt, weil auch sie die meisten Nullen enhält. Das Entwicklungselement 1 steht in Spalte 1, Zeile 1, bekommt also positives Vorzeichen, weil 1+1=2 gerade ist. Die Zeile und die Spalte, in der sich das Entwicklungselement 1 befindet, werden weg gelassen.

Wir haben also weiter reduziert:

D = 3 \cdot (- 2) \cdot ∣ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 6 & a - 8 \end{array} ∣ + (a + 6) \cdot (+ 1) \cdot ∣ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 6 & a - 8 \end{array} ∣ = - 6 \cdot ∣ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 6 & a - 8 \end{array} ∣ + (a + 6) \cdot ∣ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 6 & a - 8 \end{array} ∣

Glücklicherweise sind die beiden 2x2-Determinanten identisch, also kann man sie als eine Zahl auffassen und "ausklammern":

D = (- 6 + a + 6) \cdot ∣ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 6 & a - 8 \end{array} ∣ = a \cdot ∣ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 6 & a - 8 \end{array} ∣

Man kann die Rekursion nun weiter führen, bis man die Determinante einer einzelnen Zahl hat, und diese ist dann die Zahl selbst:

∣ x ∣ = x

. Aber Vorsicht: Die Determinante nicht mit dem Betrag verwechseln, wenn x negaiv ist, ist die Determinante auch negativ! Die Schreibweise der Determinante mit den "Betragsstrichen" ist hier sehr unglücklich gewählt. Für 2x2-Determinanten gibt es jedoch eine schöne "Abkürzung" zur Berechnung, die jeder mathematisch Talentierte im Kopf haben sollte: Es wird "über Kreuz" subtrahiert:

∣ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} ∣ = a \cdot d - c \cdot b

Damit haben wir die Determinante D berechnet:

D = a \cdot ∣ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 6 & a - 8 \end{array} ∣ = a \cdot [2 \cdot (a - 8) - (- 6) \cdot 1] = a \cdot [2 a - 16 + 6] = a (2 a - 10) = 2 a (a - 5)

Die Nullstellen dieser Determinante

D = 2 a (a - 5)

sind offensichtlich bei

a = 0

und

a = 5

.

Ok?

Gerd30.1 aktiv_icon

12:56 Uhr, 22.12.2011

ich komme auf

det (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & a + 6 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & a - 8 \end{matrix}) = 1 \cdot det (\begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 4 & a + 6 & 0 \\ - 6 & 0 & a - 8 \end{matrix}) + 2 \cdot det (\begin{matrix} 2 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ - 6 & 0 & a - 8 \end{matrix}) =

= 2 (a + 6) (a - 8) + 6 (a - 8) - 36 - 12 (a - 8) =

= 2 a^{2} - 4 a - 96 + 6 a - 48 - 36 - 12 a + 96 =

= 2 a^{2} - 10 a - 84 = 0 \Leftrightarrow a^{2} - 5 a - 42 = 0 \Rightarrow x = 2,5 \pm \sqrt{48,25}

boesesmathe aktiv_icon

17:25 Uhr, 22.12.2011

WOW vielen dank für diese Ausführliche Erklärung echt super !

nun ist mir klar wie es geht

\land

955507

955448

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