Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Determinante der transponierten Matrix, Parität

Determinante der transponierten Matrix, Parität

Universität / Fachhochschule

Tags: Determinant, Matrix, Parität, trasponierte Matrix

Sonusfaber aktiv_icon

16:25 Uhr, 24.03.2019

Hallo

Es gilt für eine (reelle oder komplexe) quadratische Matrix

A,

dass

det (A) = det (A^{T}),

wobei

det (A^{T}) = \sum

sign

(σ) a_{σ (1) 1} a_{σ (2) 2} . .

a_{σ (n) n}

.

Meine Frage betrifft die Beweisfühung bzw. eine Behauptung, die darin gemacht wird.
Man darf nämlich die Faktoren jedes Summanden so umordnen, dass nicht mehr die hinteren, sondern neu die vorderen Indizes die natürliche Reihenfolge

123 . .

n

aufweisen.

Gegeben sei zum Beispiel im Fall einer (3x3)-Matrix A der Summand

a_{31} a_{12} a_{23}

. Die vorderen Indizes bilden die Permutation

312,

deren Parität

+ 1

ist, die hinteren die identische Permutation

123

.

Nun ordne ich die Faktoren so um, dass die vorderen Indizes die identische Permutation

123

bilden:

a_{12} a_{23} a_{31}

. Es ist offensichtlich, dass

a_{31} a_{12} a_{23} = a_{12} a_{23} a_{31}

. Nun bilden die hinteren Indizes des neuen Summanden die Permutation

231,

deren Parität ebenfalls

+ 1

ist.

Es wird also im Laufe der Beweisfühung behauptet, dass die Parität stets erhalten bleibt, so dass auch das Vorzeichen aller Summanden erhalten bleibt, was essenziell ist für die Beweisführung.

Ich hätte gerne einen Beweis dafür, dass die Parität stets erhalten bleibt! Ich finde sie nirgends!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

ermanus aktiv_icon

17:12 Uhr, 24.03.2019

Hallo,
ordnet man so um, wie du es beschreibst, erhält man

\det (A^{T}) = \sum_{σ} sign (σ) a_{1, σ^{- 1} (1)} a_{2, σ^{- 1} (2)} \dots a_{n, σ^{- 1} (n) =}

= \sum_{σ} sign (σ^{- 1}) a_{1, σ (1)} a_{2, σ (2)} \dots a_{n, σ (n)}

.
Es gilt

σ \cdot σ^{- 1} = i d

, also

sign (σ) \cdot sign (σ^{- 1}) = 1

, folglich

sign (σ) = sign (σ^{- 1})

.
Gruß ermanus

Sonusfaber aktiv_icon

19:04 Uhr, 24.03.2019

Danke ermanus, das muss ich mir in Ruhe anschauen, dann melde ich mich nochmals!

ermanus aktiv_icon

19:39 Uhr, 24.03.2019

Zum Übergang von der ersten zur zweiten Zeile:
Ich habe überall

σ

σ^{- 1}

umbenannt;
dennoch läuft die Summe wieder über

σ

;
denn

σ

durchläuft die Gruppe

S_{n}

genau dann, wenn

σ^{- 1}

die Gruppe durchläuft.

Sonusfaber aktiv_icon

11:02 Uhr, 25.03.2019

Hallo

Leider verstehe ich nicht wirklich.

Ich formuliere meine Frage um anhand eines konkreten Beispiels.

Gegeben sei folgender Summand einer (3x3)-Matrix:

a_{21} a_{32} a_{13}

Die hinteren Indizes dieses Summanden stehen in der natürlichen Reihenfolgen, die vorderen hingegen bilden die Permutation

231,

welche die Parität

+ 1

hat, denn man benötigt zwei Vertauschungen, um sie in die natürliche Reihenfolge

123

zu bringen.

Nun ordne ich die drei Faktoren obigen Summanden so um, dass die vorderen Indizes in der natürlichen Reihenfolge stehen:

a_{13} a_{21} a_{32}

Die hinteren Indizes dieses umgeordneten Summanden bilden nun die Permutation

312,

die nicht identisch ist mit

231,

dennoch dieselbe Parität

+ 1

hat, denn auch diesmal benötigt man zwei Vertauschungen, um sie in die natürliche Reihenfolge

123

zu bringen.

Behauptet wird in der von mir erwähnten Beweisführung, dass jede Umordnung dieser Art jedes Summanden jeder beliebigen (nxn)-Matrix zu einer Permutation des vorderen bzw. hinteren Indizes führt, welche dieselbe Parität der ürsprünglichen hat, so dass die Vorzeichen aller Summanden erhalten bleiben.

Ich möchte für diese Aussage einen Beweis!

ermanus aktiv_icon

13:15 Uhr, 25.03.2019

Genau diesen habe ich dir mit

sign (σ^{- 1}) = sign (σ)

geliefert.

ermanus aktiv_icon

14:17 Uhr, 25.03.2019

Wie du ja sicher erkannt hast, ist

a_{σ (1), 1} a_{σ (2), 2} \cdot \dots \cdot a_{σ (n), n} = a_{1, σ^{- 1} (1)} a_{2, σ^{- 1} (2)} \cdot \dots \cdot a_{n, σ^{- 1} (n)}

.
Ist nun

σ = τ_{1} \dots τ_{r}

eine Darstellung von

σ

als Produkt
von Transpositionen, so sieht man leicht, dass

σ^{- 1} = τ_{r} \dots τ_{1}

ist,
also die gleiche Parität hat.

Sonusfaber aktiv_icon

15:08 Uhr, 25.03.2019

Aufgefallen ist mir im Fall einer (3x3)-Matrix, dass durch Umordnen der Faktoren die inverse Permutation bzw. Abbildung entsteht:

123 - 123

132 - 132

213 - 213

312 - 231

231 - 312

321 - 321

Das heisst zum Beispiel: aus

a_{21} a_{32} a_{13} (231)

entsteht

a_{13} a_{21} a_{32} (312)

und da sign(σ) und sign(σ^(-1)) identisch sind bzw. eine Permutation und die Inverse derselben dieselbe Parität haben, bleibt das Vorzeichen erhalten.

ermanus aktiv_icon

15:35 Uhr, 25.03.2019

Ja, damit hast du es.

Sonusfaber aktiv_icon

18:24 Uhr, 25.03.2019

Vielen Dank!

1463557

1463326

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?