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Determinante einer Dreiecksmatrix

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Determinante, Dreiecksmatrix

CarlaColumna aktiv_icon

00:15 Uhr, 15.12.2012

Hey guten Abend allesamt. Wäre wirklich dankbar wenn mir jemand helfen könnte und zwar bei folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Determinante einer unteren Dreiecksmatrix das Produkt ihrer Diagonaleinträge ist, also

det (\begin{matrix} a_{11} & 0 & 0 & ... 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 ... & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} ... & 0 \\ a_{n 1} & a_{n 2} & ... & a_{n m} \end{matrix}) = \prod_{i = 1}^{n} a_{i i}

Weshalb gilt für diese Dreiecksmatrix das selbe?

B = (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & - 3 & 1 \\ 2 & - 1 & 1 \end{matrix})

Ich weiß nicht wo ich da ansetzen soll. Determinantenberechnung (Laplacescher Entwicklungssatz, Regel von Sarrus, das ist mir alles klar) aber hier weiß ich nicht wie ich anfangen soll. Was heißt hier eigentlich untere Dreiecksmatrix?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

CKims aktiv_icon

01:53 Uhr, 15.12.2012

" aber hier weiß ich nicht wie ich anfangen soll."
laplacescher entwicklungssatz hoert sich doch ganz gut an.

" Was heißt hier eigentlich untere Dreiecksmatrix?"
alle eintraege formen ein dreiech unten links in der matrix... die restlichen eintraege sind null.

"Weshalb gilt für diese Dreiecksmatrix das selbe? "

B

ist keine dreiecksmatrix... aufgabe falsch abgetippt?

Gerd30.1 aktiv_icon

08:41 Uhr, 15.12.2012

Beweis durch

v . I

n = 1 : det ((a_{11})) = a_{11}

Sei für

n : det (\begin{matrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\ a_{12} & a_{22} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & a_{n n} \end{matrix}) = Π_{k = 1}^{n} a_{k k}

dann ist für

n + 1 : det (\begin{matrix} a_{11} & 0 & ... & 0 & 0 \\ a_{12} & a_{22} & ... & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & a_{n n} & 0 \\ ... & ... & ... & a_{n n + 1} & a_{n + 1 n + 1} \end{matrix}) = det (\begin{matrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\ a_{12} & a_{22} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & a_{n n} \end{matrix}) \cdot a_{n + 1 n + 1}

nach dem Entwicklungssatz, also

= Π_{k = 1}^{n + 1} a_{k k}

CarlaColumna aktiv_icon

08:44 Uhr, 15.12.2012

Ou herzlichen Dank. Und das war's?

Gerd30.1 aktiv_icon

08:46 Uhr, 15.12.2012

ja, nur für

B

gilt das nicht!!

CarlaColumna aktiv_icon

08:50 Uhr, 15.12.2012

Es war noch die Frage zu klären: Weshalb gilt für eine obere Dreiecksmatrix das selbe?
Hab nur eine aufgeschrieben, weil es ja eigentlich für eine reichen sollte. Wenn da steht "Weshalb gilt für eine obere Dreiecksmatrix das selbe"
Und meine oben stehenden Matrizen waren: (Also auf dem Aufgabenblatt)

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & - 3 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & - 3 & 1 \\ 2 & - 1 & 1 \end{matrix})

und

c) (\begin{matrix} a & a & a & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & b & b \\ a & b & b & 0 \end{matrix})

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