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Determinante einer komplexen 5x5 Matrix

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Tags: Determinanten, komplexe Matrix

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21:39 Uhr, 05.12.2011

Hallo, bin neu hier! Mal schauen wie das so funktioniert..

Ich habe eine 5 x 5 Matrix mit komplexen Einträgen:

A = [\begin{array}{rcl} 0 & 2 & (2 - i) & i^{2} & - 1 \\ - 2 & 0 & 0 & i & b \\ i - 2 & 0 & 0 & a & 1 \\ 1 & - i & - a & 0 & - i \\ 1 & - b & - 1 & i^{3} & 0 \end{array}]

Nun sollte ich

d e t (A)

in Abhängigkeit der Variablen

a

und

b

bestimmen.

Meine Frage: Gibt es einen einfacheren Lösungsweg als den Laplaceschen Entwicklungssatz mehrmals anzuwenden? (Ich habe mir noch gedacht mit dem Gauss-Algorithmus, dann muss ich aber bei jeder Zeilen- oder Spaltenvertauschung das Endresultat mit

(- 1)

multiplizieren, oder?)

Für alle die es interessiert und zum prüfen hier noch mein Lösungsweg:

Mein Lösungsansatz:

Laplacescher Entwicklungssatz: Entwicklung von

A

nach der 2. Zeile:

\sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{(2 + j)} * a_{2 j} * d e t (A_{[2, j]})

(Wobei

A_{[i, j]}

die

(n - 1) * (n - 1)

-Untermatrix von

A

ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.)

Somit habe ich:

d e t (A) = (- 1)^{3} * (- 2) * d e t [\begin{array}{rcl} 2 & 2 - i & i^{2} & - 1 \\ 0 & 0 & a & 1 \\ - i & - a & 0 & - i \\ - b & - 1 & i^{3} & 0 \end{array}] + (- 1)^{6} * i * d e t [\begin{array}{rcl} 0 & 2 & 2 - i & - 1 \\ i - 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & - i & - a & - i \\ 1 & - b & - 1 & 0 \end{array}] + (- 1)^{7} * b * d e t [\begin{array}{rcl} 0 & 2 & 2 - i & i^{2} \\ i - 2 & 0 & 0 & a \\ 1 & - i & - a & 0 \\ 1 & - b & - 1 & i^{3} \end{array}]

(Die Summanden mit 0 habe ich ausgelassen)

Wenn wir die 3 daraus entstandenen Matrizen mit

A_{1}, A_{2}

und

A_{3}

bezeichnen, ergibt das folgende Formel:

d e t (A) = 2 * d e t (A_{1}) + i * d e t (A_{2}) - b * d e t (A_{3})

Diese 3 Determinanten habe ich wiederum mit dem Entwicklungssatz berechnet. (Ich habe in allen Fällen nach der 2. Zeile entwickelt)

Damit der Beitrag nicht noch grösser wird hier die Resultate:

d e t (A_{1}) = 2 - a^{2} b - (2 a b - 5 a + 2) i

d e t (A_{2}) = 2 (- a + b + a b) + (4 b - a b - 4) i

d e t (A_{3}) = - 2 a^{2} + 5 a + 2 + (6 a - 6) i

Determinanten in die obere Formel einsetzen ergibt:

d e t (A) = 2 * (2 - a^{2} b - (2 a b - 5 a + 2) i) + i * (2 (- a + b + a b) + (4 b - a b - 4) i) - b * (- 2 a^{2} + 5 a + 2 + (6 a - 6) i)

Umformen...

d e t (A) = - 4 a b - 6 b + 8 - (2 a b - 2 b - 2 a + 1) 4 i

Und das sollte falsch sein :-) Denn gemäss Aufgabenstellung (Multiple-Choice) ist die Lösung entweder

i, i^{2}, 0, a * b

oder

a * b * i

.

Wo habe ich einen Fehler gemacht? :( (Ich werde in der Zwischenzeit noch den Ansatz mit dem Gauss-Algorithmus versuchen, vielleicht habe ich da mehr Glück.)

Vielen Dank für Eure Zeit!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

21:54 Uhr, 05.12.2011

Hallo,

sorry, hab mich verwirren lassen. Dachte, die Matrix sei hermitesch, aber das stimmt nicht.

Mfg Michael

EDIT: Allerdings der vorher von mir gepostete Tipp stimmt dennoch: die zweite und dritte Zeile kannst du so verarzten, dass noch eine Null mehr entsteht. Dann kannst du dir nach Laplace eine vierreihige Determinante sparen.

EDIT2: Kann es sein, dass du die Matrix falsch gepostet hast? Mit meinem CAS ergibt siech keine deiner vorgegebenen Lösungsmöglichkeiten!

Octoshape aktiv_icon

22:05 Uhr, 05.12.2011

Hallo,

Hermitesch.. das war ne Zeit her als ich das gelernt hatte :-)

Hermitesch heisst, dass

A^{H} = A

also

(A)_{i j} = \bar{(A)_{j i}}

Das wäre bei dieser Matrix

A

aber nicht der Fall. Zum Beispiel die Einträge in den Ecken unten links und oben rechts:

A_{51} = 1

\bar{A_{51}} = 1

jedoch:

A_{15} = - 1 \neq 1

Oder mache ich hier was falsch?

EDIT: Ich bin zu langsam mit LaTeX :-D) sorry ^^ ich poste mal ein Bild aus der Aufgabenstellung, moment..

Octoshape aktiv_icon

22:19 Uhr, 05.12.2011

Bin langsam der Meinung, dass keine der angegebenen Antwortmöglichkeiten richtig ist. Habe auf diesem Computer leider Matlab nicht installiert, würde es sonst dort kurz überprüfen.

Hat sonst noch jemand eine Idee?

michaL aktiv_icon

22:30 Uhr, 05.12.2011

Hallo,

hm, mein CAS gibt übrigens die Lösung aus, die du im ersten Post geschrieben hast. Scheint also deine Rechnung zu stimmen, während die vorgegebenen Lösungsmöglichkeiten alle falsch sind.

Nun, ja...
Fehler macht jeder!

Mfg Michael

dapso aktiv_icon

22:33 Uhr, 05.12.2011

Matlab kommt ebenfalls auf dein Ergebnis.

Octoshape aktiv_icon

22:36 Uhr, 05.12.2011

Danke für die Abklärung an euch beide! Werde dem Hauptassistenten mal eine E-Mail schreiben. Bin ja gespannt auf die Lösung der Serie am Donnerstag. :-)

Hauptsache meine Rechnung stimmt und ich kann Determinanten berechnen!

=)

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