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Determinante einer nxn Matrix bestimmen

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Determinanten

Tags: Determinanten

Johnny1994 aktiv_icon

19:23 Uhr, 13.01.2016

Aufgabe: Bestimmen Sie

det (\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 2 \end{matrix})

Kann mir jemand eine Vorgehensweise, wie ich zur Lösung komme, erklären und ggf. Das Endergebnis mir zur Kontrolle überlassen.

Vielen Dank im Voraus!

Meine Idee:

- \to

Matrix

A

in Diagonalmatrix bringen (Mithilfe der Elementarmatrix von Typ

Q_{j}^{i} (λ)

- \to

Elemente der Diagonale "aus der Matrix herausholen", sodass eine Einheitsmatrix entsteht, dessen Determinante 1 ist.

LG Johnny1994

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

19:43 Uhr, 13.01.2016

Hallo
ich würde erstmal die ersten 2 oder 3 ausrechnen und damit eine Vermutung, die ich dann per Induktion zeigen kann
Wenn du wirklich auf Diagonalform bringst ist

det =

Produkt der Diagonalelemente!
ob das schnell geht sehe ich nicht direkt.
Gruß ledum

michaL aktiv_icon

19:43 Uhr, 13.01.2016

Hallo,

hast du al exploriert, d.h. für konkrete Mitglieder der Menge die Determinante konkret berechnet?
Wenn ja, was hast du raus?
Wenn nein, warum denn das nicht?

Mfg Michael

Johnny1994 aktiv_icon

20:18 Uhr, 13.01.2016

Ich habe das mal mit der

2 x 2

Matrix oben links probiert in der diagonale steht dann

- 3

und 1 kannst du mir vielleicht sagen, wie ich hieraus eine Vermutung aufstellen kann?

LG Johnny1994

(\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} - 3 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \Rightarrow det (E) \cdot (- 3) \cdot (- 1) = 1 \cdot (- 3) \cdot (- 1) = 3 \Rightarrow det (A) = 3

Habt ihr eine Idee für eine Vermutung? Vielleicht

({(- 1)}^{n - 1}) \cdot n

?

LG Johnny1994

Roman-22

21:08 Uhr, 13.01.2016

Eine

2 x 2

Matrix ist nicht gerade ein typischer Vertreter dieses speziellen Matrix-Typs, aber das Ergebnis fügt sich ins allgemeine Bildungsgesetz ebenso wie der Fall

n = 1

mit

det = 2

.
Aber allein deswegen, weil du nun das Ergebnis

n = 2 \to det = 3

kennst, wirst du schwer eine tragfähige Vermutung aufstellen können.
Also führe die Berechnungen noch für die

3 x 3

und

4 x 4

Matrix durch und evt. auch noch für die

5 x 5

. Das sollte dann deine Nase auf einen sehr einfachen Zusammenhang zwischen

n

und

det

stoßen.

R

michaL aktiv_icon

21:08 Uhr, 13.01.2016

Hallo,

ja, eine Vermutung habe ich. Hast du nur die entsprechende 2x2-Determinante ausgerechnet? Dann werden Vermutungen wild ins Kraut schießen.

Rechne doch noch ein paar weitere aus.

Beweisen kannst du deine Vermutung dann übrigens normalerweise mit vollständiger Induktion!

Mfg Michael

Roman-22

21:20 Uhr, 13.01.2016

Hier ist es auch möglich, nach der ersten Zeile (oder der ersten Spalte) zu entwickeln.
Es ergibt sich dann eine Rekursionsformel

({det}_{n} = 2 \cdot {det}_{n - 1} - {det}_{n - 2}),

die man dann (man kennt ja

{det}_{1} = 2

und

{det}_{2} = 3)

auflösen könnte.

R

Johnny1994 aktiv_icon

21:23 Uhr, 13.01.2016

Bei einer

3 x 3

Matrix bekomme ich so eklige werte raus ist das richtig oder sollten das immer schöne Zahlen aus

ℤ

sein?

Roman-22

21:28 Uhr, 13.01.2016

Ich weiß nicht, was du mit ekligen Werten meinst, aber da in der Matrix nur ganzzahlige Werte auftreten, kann die Determinante natürlich auch nur ganzzahlig sein.
Du solltest für die

3 x 3

Matrix das Ergebnis 4 erhalten.
Falls du nicht drauf kommst, müsstest du deine (falsche) Rechnung hier präsentieren, damit wir vl den Fehler aufzeigen können.

Wie hast du denn die Determinante bestimmt? Mit der Regel von Sarrus vermutlich nicht und den Laplaceschen Entwicklungssatz hast du vermutlich auch nicht verwendet, denn da wüsste ich nicht, wie sich "eklige Werte" einstellen sollten.

R

Johnny1994 aktiv_icon

21:40 Uhr, 13.01.2016

Ich habe mein Fehler gefunden (grob verrechnet). Für

2 x 2

habe ich

det (A) = 3

für

3 x 3

habe ich

det (A) = 4

und für

4 x 4

habe ich

det (A) = 5

habe und für

5 x 5

habe ich

det (A) = 6

schätze mal es geht immer um den Faktor

+ 1

weiter.

Stimmt schon bei

3 x 3

würde meine Vermutung, die lautete

{(- 1)}^{n - 1} \cdot 1,

nicht funktionieren.

ledum aktiv_icon

21:46 Uhr, 13.01.2016

Hallo
richtig, aber das ist kein Faktor!
Gruß ledum

Johnny1994 aktiv_icon

21:47 Uhr, 13.01.2016

Habt ihr jetzt noch ein Tipp, wie ich mir eine Vermutung konstruieren könnte?

Irgendwie stelle ich diese mir so vor

{(1)}^{n} \cdot n

Wäre cool, wenn ich mich bei diesem Schritt noch unterstützen könntet!

LG Johnny

Roman-22

21:50 Uhr, 13.01.2016

>

Habt ihr jetzt noch ein Tipp, wie ich mir eine Vermutung konstruieren könnte?
Die hast du doch schon selbst geäußert:
<i>"schätze mal es geht immer um den Faktor

+ 1

weiter."<(i>

Und ledum hat dich darauf aufmerksam gemacht, dass es sich nicht um einen Faktor handelt (sondern um einen Summanden).

det (M_{1}) = 2

det (M_{2}) = 3

det (M_{3}) = 4

det (M_{4}) = 5

det (M_{5}) = 6

...

det (M_{n}) =

???

R

P . S . : {(1)}^{n} = 1,

daher ist

{(1)}^{n} \cdot n = n,

also nicht richtig-
Denke, du siehst den Wald vor lauter Bäumen nicht ;-)

Johnny1994 aktiv_icon

21:52 Uhr, 13.01.2016

meinte ich habe mich nur falsch ausgedrückt, sorry!

Roman-22

21:53 Uhr, 13.01.2016

und wie lautet nun deine korrigierte Vermutung?

R

Johnny1994 aktiv_icon

21:55 Uhr, 13.01.2016

Ich traue mich nichts falsches zu sagen ;-), vielleicht

{(1)}^{n + 1} \cdot n

? Ok, dann habe ich keine Idee!

Roman-22

21:58 Uhr, 13.01.2016

Ist dir nicht bewusst, dass

{(1)}^{i r g e n d w a s} = 1

ist. Egal ob du im Expnenten

n

oder

n + 1

schreibst.

Sie dir doch die ersten paar Ergebnisse an

n \to {det}_{n}

1 \to 2

2 \to 3

3 \to 4

4 \to 5

5 \to 6

Was meinst du wie es weiter geht?

6 \to

7 \to

. .

n \to

R

Johnny1994 aktiv_icon

22:01 Uhr, 13.01.2016

>>Ist dir nicht bewusst, dass (1)irgendwas=1 ist. Egal ob du im Expnenten

n

oder

n + 1

schreibst.<<

Auch wenn diese Frage von rhetorischer Natur ist, möchte ich diese Aussage bzw. Frage verneinen. ;-)

>>Sie dir doch die ersten paar Ergebnisse an

n→detn
1→2
2→3
3→4
4→5
5→6

Was meinst du wie es weiter geht?

6→ ??
7→ ??

. .

.
n→ ??

R 〈

6→ 7
7→ 8

. .

.
n→

n + 1

Roman-22

22:12 Uhr, 13.01.2016

>>Ist dir nicht bewusst, dass (1)irgendwas=1 ist. Egal ob du im Expnenten

n

oder

n + 1

schreibst.<<

>

Auch wenn diese Frage von rhetorischer Natur ist, möchte ich diese Aussage bzw. Frage verneinen. ;-)

Dann müssen wir etwas dagegen tun:

1^{2} = 1 \cdot 1 = 1

1^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1

1^{- 4} = \frac{1}{1^{4}} = \frac{1}{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{1}{1} = 1

Dass

1^{x} = 1

für alle

x \in ℝ

gilt (also dass etwas auch

1^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{1^{2}} = 1

ist) sieht man so zwar noch nicht unmittelbar, das glaubst du mir jetzt einfach und außerdem ging es bei deinen Vorschlägen mit

n

und

n + 1

ja ohnedies nur um ganze Zahlen.

> n \to n + 1

Na also!

Jetzt kommt allerdings erst der schwierige Teil. Diese Vermutung, dass die Determinante einer

n \times n

Matrix mit der in der Angabe näher spezifizierten Bauart eben einfach

n + 1

ist, die muss jetzt noch bewiesen werden.

R

Johnny1994 aktiv_icon

22:19 Uhr, 13.01.2016

kann ich das auch mit elementaren Zeilenumformungen durch elementarmatrizen zeigen oder geht das nur über Induktion?

Behauptung: Die determinante der Matrix ist

det (A) = n + 1

Beweis:

. .

.

PS: Vielen Dank für die Hilfe bis hierhin!

LG Johnny

Roman-22

23:09 Uhr, 13.01.2016

>

kann ich das auch mit elementaren Zeilenumformungen durch elementarmatrizen zeigen oder geht das nur über Induktion?
Naja, du sollst es ja ALLGEMEIN, also für beliebiges

n,

beweisen. Wieviele Zeilenumformungen möchtest du da durchführen, wann hörst du damit auf und "siehst", was rauskommt. Nichtsdestotrotz gut möglich, dass es auch anders geht, aber ich glaube, dass Rekursion in irgendeiner Form hier zielführend ist. Ob sich diese nun in der vollständigen Induktion versteckt oder ob man sie, so wie ich das oben vorgeschlagen habe, direkt ansteuert, ist ja relativ egal.
Du solltest also versuchen, die Determinante einer

n \times n

Matrix (oder bei Induktion vl einer

n + 1 \times n + 1

Matrix) so zu berechnen, dass du die Berechnung auf Matrizen kleinerer Dimension zurück führst.
Ich hatte dazu den Entwicklungssatz von Laplace (hattet ihr den bereits?) benutzt und nach der ersten Zeile entwickelt, da diese nur zwei von Null verschiedene Elemente aufweist. Dabei bin ich eben auf die angegebene Rekursionsformel gekommen, aus der man das Bildungsgesetz ganz schnell durch Differenzbildung erhält.
Wenn man die Vermutung bereits hat, kann man mit der gleichen Methode auch leicht den Induktionsbeweis führen, denn aus

{det}_{n + 1} = 2 \cdot {det}_{n} - {det}_{n - 1}

folgt mit (Induktionsannahme)

{det}_{n} = n + 1

und

{det}_{n - 1} = n

sofort

{det}_{n + 1} = 2 \cdot (n + 1) - n = n + 2

und das wäre dann ja auch zu zeigen gewesen. Der Induktionsanfang muss hierbei aus zwei Startwerten, zB

{det}_{1} = 2

und

{det}_{2} = 3

bestehen.

Mag sein, dass man Ähnliches auch mit allgemeinen Zeilenumformungen erreichen kann. Vielleicht schaffst du es auch, eine allgemeine Umformung anzugeben, die aus der Matrix eine Diagonalmatrix macht, die nur Einsen in der Diagonalen stehen hat, bis auf ein Diagonalelement, welches dann

n + 1

ist. Mag sein, dass das möglich ist, aber das will ich mir jetzt nicht nicht überlegen ;-)

R

Johnny1994 aktiv_icon

23:51 Uhr, 13.01.2016

>>Entwicklungssatz von Laplace (hattet ihr den bereits?)<<

Ja, wir haben den heute eingeführt. Bin auch der Meinung, dass diese Aufgabe einfach über den Entwicklungssatz erarbeitet werden kann (Bestimmt auch von Prof. beabsichtigt, dass wir diesen Satz verwenden sollen)! Bin mir noch nicht sicher wie ich den anwenden soll, finde ich aber bis spätestens morgen heraus!

〉 [...]

und nach der ersten Zeile entwickelt, da diese nur zwei von Null verschiedene Elemente aufweist<<

det (A) = {(- 1)}^{1 + 1} \cdot 2 \cdot det (...) + {(- 1)}^{1 + 2} \cdot (- 1) \cdot det (...) = ... = . .

.

Das wäre ja die Entwicklung nach der 1 Zeile. Woher weiß ich welche Matrizen ich bei

det (...)

einsetzen muss? Kannst du mir da ein Tipp geben?

LG Johnny

Roman-22

23:58 Uhr, 13.01.2016

Dann würde ich vorschlagen, dass du dir einmal eine

5 \times 5,

besser vielleicht noch eine

6 \times 6

Determinante dieser Bauart hinschreibst und schrittweise nach der ersten Zeile entwickelst.

Du siehst vermutlich sofort, dass (ich nehme jetzt eine

6 \times 6

Ausgangsdet. an) sich am Beginn nach Streichung der ersten Zeile und Spalte eine

5 \times 5

Matrix von genau der speziellen Bauart ergibt. Das ist leider bei Streichung der ersten Zeile und zweiten Spalte nicht der Fall.

Also als Start

{det}_{6} = 2 \cdot {det}_{5} - (- 1) \cdot (\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & ... \\ 0 & 2 & - 1 & ... \\ ... & ... & ... & ... \end{matrix}) = . .

.

Schreib dir die letzte Determinante komplett hin und überlege, was sich ergibt, wenn du diese nach der ersten Zeile entwickelst.

R

Johnny1994 aktiv_icon

00:49 Uhr, 14.01.2016

det (A) = 2 \cdot (\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}) - (- 1) \cdot (\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix})

= 2 \cdot (2 \cdot (\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}) - (- 1) \cdot (\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix})) - 1 \cdot (- 1 (\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix})

= ...

.

Ist das bisher so richtig?

Roman-22

02:23 Uhr, 14.01.2016

\to

matheraum.de/read?t=1069808

Johnny1994 aktiv_icon

10:25 Uhr, 14.01.2016

Warum der Link? Wenn du darauf hinausmachtest, ob der von mir ist, muss ich das verneinen! Ist den mein Ansatz, denn ich vorgerechnet habe richtig? Und wenn ich das solange gemacht habe, dass ich eine

1 x 1

Matrix rausbekomme, wie kann ich den mein Ergebnis bzgl. meiner Aufgabenstellung interpretieren?

LG Johnny

Roman-22

11:17 Uhr, 14.01.2016

>

st den mein Ansatz, denn ich vorgerechnet habe richtig?
Die letzte Determinante ist falsch, außerdem ist es nicht sinnvoll, bis zur

1 x 1

Det runter zu rechnen, es sei denn, du möchtest nur die 6-er Determinante

(\to 7)

bestimmen. Du solltest an der 6-er Det ein Verfahren entdecken, welches auf beliebige

n \times n

Matrizen anwendbar ist und auf welche Rekursionsformel du komme nsolltst habe ich schon mehrmals geschrieben. Warum also entwickelst du die erste 5er-Det weiter? Das ist doch

{det}_{5}

R

Johnny1994 aktiv_icon

11:33 Uhr, 14.01.2016

>>Du solltest an der 6-er Det ein Verfahren entdecken<<

Ich sehe es leider nicht und bin jetzt ganz verwirrt, sorry

:_{_} (

. Ich dachte ich muss auch

{det}_{5}

weiterentwickeln beim Entwicklungssatz von Laplace. Könntest du mir noch etwas auf die Sprünge helfen (Tut mir wirklich leid, wenn ich anfange so penetrant zu nerven. Bin einfach zu blöd für diese Aufgabe!)

Ich fange noch mal neu an und lass uns den Rest vergessen.

{det}_{6} (A) = 2 \cdot {det}_{5} (A) - (- 1) \cdot (\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}) =

???

Ich habe noch nicht ganz verstanden, wie es hier weiter gehen soll. Wie arbeite ich mit

{det}_{5} (A)

weiter und soll ich nur die dort stehende Matrix erweitern und

{det}_{5} (A)

vernachlässigen?

LG Johnny

Roman-22

12:57 Uhr, 14.01.2016

>

Ich habe noch nicht ganz verstanden, wie es hier weiter gehen soll. Wie arbeite ich mit

det 5 (A)

weiter
Gar nicht! Wenn du Induktion machen möchtest ist das Ziel doch, die

n + 1 \times n + 1

Determinante auf frühere Fällen, eben zB die

n \times n

Det zurück zu führen und das ist im ersten Fall eben geschafft. Die zweite Det musst du noch weiter entwickeln, aber eben richtig. Dein erster Versuch war da falsch.

R

Johnny1994 aktiv_icon

12:59 Uhr, 14.01.2016

Also ich muss

{det}_{5}

stehen lassen und nur mit der Matrix weiter machen. Dort bekomme ich dann wieder eine Matrix raus, die die Bedingung erfüllt und eine die es nicht tut. Die es tut lass ich stehen und arbeite dann mir der, die es nicht tut, weiter usw. bis

1 x 1

oder?

det (A) = 2 \cdot {det}_{5} (A) - (\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}) = - 1 \cdot {det}_{4} (A) - (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}) = . .

. usw. richtig?

Roman-22

13:04 Uhr, 14.01.2016

Nein, nochmals - wie willst du bei einer

n \times n

Matrix bis zur

1 \times 1

Matrix runterrechnen?
mach mal und lass dich überraschen wie die zweite Matrix aussieht. Was rauskommt, hab ich doch schon zig mal geschrieben.

R

PS: Determinanten sollten nicht in runden Klammern stehen (auch wenn ich den Unfug auch gemacht habe ;-)

Johnny1994 aktiv_icon

12:28 Uhr, 15.01.2016

Hallo! Ich habe jetzt versucht die Aufgabe adäquat zu lösen. Kannst du mir sagen, ob das so richtig ist?

Beh.: Die Determinante der Matrix aus Aufgabe

. .

. ist

{det}_{n} (A) = n + 1

.

Beweis: Sei

A \in

{

nxn}

\forall n \in ℕ,

dann gilt mit dem Entwicklungssatz von Laplace:

{det}_{6} (A) = 2 \cdot {det}_{5} (A) - (- 1) \cdot (\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix})

= 2 \cdot (2 \cdot ({det}_{4} (A) - (- 1) \cdot (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}) - (- 1) \cdot (- 1 \cdot {det}_{4} (A) - (- 1) \cdot (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}))

Hieraus ergibt sich die Rekrusionsformel

{det}_{n} (A) = 2 \cdot {det}_{n - 1} (A) - {det}_{n - 2} (A)

Wie ich das Bildungsgesetz durch Dirfferenzbildung erhalte, habe ich leider nicht herausgefunden, anstelle habe ich die Induktion angewendet ist doch auch richtig oder?

Nun zeigen wir, dass die Rekrusionsformel

\forall n \in ℕ

gilt:

I.B.:

{det}_{4} (A) = 2 \cdot {det}_{3} (A) - {det}_{2} (A) = 2 \cdot 4 - 3 = 5 \Rightarrow

Stimmt

I.A.:

{det}_{n} (A) = n + 1

und

{det}_{n - 1} (A) = n

I.S.:

{det}_{n + 1} (A) = {det}_{n} (A) - {det}_{n - 1} (A) =

(Induktionsannahme einsetzen)

2 \cdot (n + 1) - n = 2 n + 2 - n = n + 2

\Rightarrow

Die Rekrusionsformel gilt

\forall n \in ℕ,

also ist die Determinante

{det}_{n} (A) = n + 1

Q . E . D

.

LG Johnny

Roman-22

17:16 Uhr, 17.01.2016

>

det6(A)=2⋅det5(A)-(-1)⋅(-1-100002-1000-12-1000-12-1000-12)= ????????
Keine Ahnung, was du da machst! Warum

{det}_{5}

wieder verschwindet und wie du da die andere Determinante berechnest versteh ich leider nicht.

>

Hieraus ergibt sich die Rekrusionsformel detn(A)=2⋅detn-1(A)-detn-2(A)
Aha, na, wenn du aus deiner obigen Rechnung tatsächlich diese von mir schon mehrfach angegebene Rekursionsformel (beachte die Schreibweise) ableiten kannst, dann wirds wohl stimmen.

R

Johnny1994 aktiv_icon

19:09 Uhr, 17.01.2016

Was muss ich den da noch alles ändern? nur det(A_5) oder noch was anderes?

LG Johnny

Roman-22

19:24 Uhr, 17.01.2016

Wie gesagt, ich verstehe überhaupt nichts von dem, was du da nach dem zweiten Gleichheitszeichen gemacht hast.
Ich hätte das

2 \cdot {det}_{5}

stehen lassen und die zweite 5er-Determinante weiter entwickelt, aber was du da gemacht oder versucht hast ist mir absolut nicht klar.
Vielleicht überlegst du dir das nochmal in Ruhe und schreibst es dir geordnet auf.

R

Johnny1994 aktiv_icon

19:26 Uhr, 17.01.2016

Das wollte ich ja machen ;-) habe bloß das

{det}_{5}

weggelassen

Zu zeigen:

det (A_{n + 1}) = 2 \cdot det (A_{n}) - det (A_{n - 1})

I.B.:

det (A_{3}) = 2 \cdot det (A_{2}) - det (A_{1}) = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4 \Rightarrow

Stimmt

I.A.:

Es gelte für ein

n \in ℕ

mit

n \geq 3,

dass

det (A_{n}) = 2 det (A_{n - 1}) - det (A_{n - 2})

I.S.:

det (A_{n + 1}) = {det (A_{n})}_{n + 1} = 2 \cdot det (A_{n - 1}) - {det (A_{n - 2})}_{n + 1} (I . A

. Einsetzen)

= 2 \cdot det (A_{n - 1 + n + 1}) - det (A_{n - 2 + n + 1}) = 2 \cdot det (A_{n}) - det (A_{n - 1})

Q . E . D

.

Ist der Beweis für die Rekrusionsformel richtig?

LG

Roman-22

19:47 Uhr, 17.01.2016

>

Das wollte ich ja machen ;-) habe bloß das

{det}_{5}

weggelassen
Das seh ich jetzt nicht, aber vl beziehen wir uns auch auf unterschiedliche Terme. Wenn du Lust hast, kannstr du es ja nochmals komplett schreiben, wie es deiner Meinung nach ganz richtig ist.
Beachte dabei, dass die Werte einer Determinante nicht in runden Klammern stehen sondern zwischen zwei senkrechten Strichen:

det ((\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})) = | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} | = - 2

Außerdem kannst du mit Vorteil verwenden, dass eine Determinante, die eine Spalte enthält, die nur aus Nullen besteht, mit SIcherheit den Wert Null hat.

>

Ist der Beweis für die Rekrusionsformel richtig?
Das Wort heißt "Rekursion".

Nun, die Bezeichnung

det (A_{n})

ist jetzt jedenfalls bedeutend sinnvoller, als das

{det}_{n} (A),

das du bisher verwendet hast.
Zur Klarstellung: Wenn ich

{det}_{5}

geschrieben habe, dann war das eben das, was du jetzt mit

det (A_{5})

bezeichnest, obwohl es

| A_{5} |

auch tun würde.
Ich habe die Folge der Determinanten betrachtet und die Folgenglieder (das sind normale Zahlen) eben nicht mit

a_{1}, a_{2}, ...,

sondern mit

{det}_{1}, {det}_{2}, . .

. bezeichnet.

Aber was soll denn nun wieder

{det (A_{n})}_{n + 1}

sein, mit Hilfe dessen du für mich völlig unverständlich den Schritt von

det (A_{n + 1})

det (A_{n})

zu bewältigen versuchst??
Entweder ist das Unfug oder es zu hoch für mich

: - (

R

Johnny1994 aktiv_icon

19:51 Uhr, 17.01.2016

könntest du mir vielleicht bei dieser Induktion helfen? Sitze schon den ganzen Tag dran!

LG

Roman-22

20:20 Uhr, 17.01.2016

Wie du meine Rekursionsformel mit Induktion einfacher beweisen könntest, das weiß ich leider auch nicht. Denn irgendwo wird im Beweis wohl die Definition der Determinante einfließen müssen.

Es ging doch vielmehr darum, zB durch vollst. Induktion zu zeigen, dass

det (A_{n}) = n + 1

gilt.

Und ein Teil dieses Induktionsbeweises ist eben, herzuleiten, dass

det (A_{n + 1}) = 2 \cdot det (A_{n}) - det (A_{n - 1})

gilt.

Und dazu fällt mir auch nichts anderes ein, als es eben mühsam über Determinantenentwicklungen zu zeigen.
Und damit es nicht zu abstrakt wird, hatte ich vorgeschlagen, dass du diesen Zusammenhang zunächst einmal ganz konkret für eine 6er-Determinante zeigst. Dann kann man es leichter gleichermaßen auch für eine beliebige

n \times n

Determinante anschreiben.
Und für die 6er-Determinate hast du es nach eigener Angabe ja schon (bis auf das vergessene

{det}_{5})

.
Und mit dem rekursiven Zusammenhang lässt sich dann der Induktionsbeweis, nämlich dass

det (A_{n + 1}) = n + 2

ist, führen. Aber das haben wir weiter oben ja auch schon gehabt.

Also

I.A.:

| A_{1} | = 2

UND

| A_{2} | = 3

I.V.:

| A_{n} | = n + 1

I.B.:

| A_{n + 1} | = ...

= 2 \cdot | A_{n} | - | A_{n - 1} | = 2 \cdot (n + 1) - ((n - 1) + 1) = 2 n + 2 - n = n + 2 / /

.

Und an der Stelle der

...

. musst du eben das Gleiche wie bei der 6er-Determinante schreiben, nur eben allgmein, also die Determinaten so angeben mit

. .

. wie in deinem ersten Posting.
Oder (vielleicht übersichtlicher) du zeigst den Zusammenhang in einer Nebenrechnung.

R

Johnny1994 aktiv_icon

20:26 Uhr, 17.01.2016

Alo du meinst man muss nur die Rekursionsformel mithilfe von Laplace herleiten und anschließend

{det}_{n} = n + 1

mithilfe der Rekursionsformel beweisen. Die Rekursionsformel muss nicht zusätzlich bewiesen werden oder? Ich schreibe nochmal meine Entwicklung der Matrix auf.

LG

Roman-22

20:32 Uhr, 17.01.2016

>

Die Rekursionsformel muss nicht zusätzlich bewiesen werden oder?
Natürlich nicht! Wenn sie bereits (korrekt) hergeleitet wurde, dann gilt sie - Punkt. Dann ist sie eben, wenn du so willst, durch direkten Beweis gezeigt worden. Es besteht keine Notwendigkeit, das noch zusätzlich mit einem indirekten Beweis oder einem Beweis durch vollständige Induktion zu untermauern.

R

Johnny1994 aktiv_icon

20:42 Uhr, 17.01.2016

det (A_{6}) = 2 \cdot det (A_{5}) - (- 1) \cdot (\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}) = 2 \cdot det (A_{5}) \cdot (2 \cdot det (A_{4}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 2 & - 11 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}))

so?

Johnny1994 aktiv_icon

20:53 Uhr, 17.01.2016

det (A_{6}) = 2 \cdot det (A_{5}) - (- 1) \cdot (\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}) = 2 \cdot det (A_{5}) \cdot (2 \cdot det (A_{4}) - (- 1) \cdot det (A_{4})) + (- 1) \cdot (det (A_{4}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}))

so?

LG

PS: Das obere kannst du streichen!

Roman-22

20:57 Uhr, 17.01.2016

Warum wird bei dir immer aus einer Strich-Rechnung eine Punkt-Rechnung?

2 \cdot det (A_{5}) + ...

.

Und wie schon gesagt, nicht

(\begin{matrix} ... & ... \\ ... & ... \end{matrix}),

sondern

| \begin{matrix} ... & ... \\ ... & ... \end{matrix} |,

oder aber etwas aufwändiger

det ((\begin{matrix} ... & ... \\ ... & ... \end{matrix}))

R

Johnny1994 aktiv_icon

20:58 Uhr, 17.01.2016

Wie meinst du das? Das mit den Klammern mache ich hier nur, weil ich nicht weiß, wie die vertikalen Klammern gehen!

LG

Roman-22

21:02 Uhr, 17.01.2016

Nach

2 \cdot det (a_{5})

geht es mit einer Strichrechnung weiter und nicht, so wie bei dir, mit einer Multiplikation!

Johnny1994 aktiv_icon

21:04 Uhr, 17.01.2016

Also ich muss nur hinter

2 \cdot det (A_{5})

anstatt ein

\cdot

ein

+

schreiben und dann stimmt mein Entwicklung nach der ersten Zeile oder?

LG Johnny

Roman-22

21:44 Uhr, 17.01.2016

>

weil ich nicht weiß, wie die vertikalen Klammern gehen
Genau so wie die Matrix, nur dass du eben anstatt den äußersten Klammern die senkrechte Striche schreibst. Also "|(1,

2), (3,

4)|"

>

Also ich muss nur hinter 2⋅det(A5) anstatt ein ⋅ ein

+

schreiben
Na eben, ist doch ein Unterschied, oder?
Der Rest scheint mir auch nicht ganz richtig zu sein, jedenfalls ist mir nicht ersichtlich, woher all diese Ausdrücke stammen. Und du kommst damit ja auch nicht ganz auf die gewünscht Formel, oder?

R

Johnny1994 aktiv_icon

21:46 Uhr, 17.01.2016

Kannst du das vielleicht einmal aufschreiben? ich komme nicht weiter und sitze schon seit 3 Tagen an diese Aufgabe und bin schon total deprimiert. Bitte hilf mir, bitte!

LG Johnny

Roman-22

21:52 Uhr, 17.01.2016

Warum schreibts du nicht die ganze Rechnung einmal schrittweise und komplett auf, ohne ständig Schritte zu überspringen und dann steht letztlich nur ein falsche Ergebnis da, ohne dass ersichtlich ist, was du dir dabei überlegt hast.
Achte dabei darauf, Zeilenumbrüche einzufügen, damit der Thread optisch nicht zerstört wird. Ein freundlicher Mod scheint da hier weiter oben schon einmal für dich erledigt zu haben.
Also erst die 6er-Det (komplett), dann die Entwicklung nach der ersten Zeile mit den beiden 5er-Determonanten. Dann erkennest du, dass die erste 5er Determinante ja

det (A_{5})

ist und du setzt diese Abkürzung dafür ein. Anschließend wird die zweite 5er-Determinante entwickelt und es stehen zwei 4er-Determinanten da, etc.
Um bei späteren Fehlerkorrekturen nicht alles neu tippen zu müssen, solltest du dir die ganze Rechnung auch noch in eine normale Textdatei kopieren zur späteren Wiederverwertung.

Ich kann verstehen, dass es dir lästig ist, die ganze Rechnung komplett aufzuschreiben - geht mir genau so ;-)

R

Johnny1994 aktiv_icon

21:59 Uhr, 17.01.2016

Also ich habe jetzt keine explizite Rechnung gemacht. ich habe einfach die erste Spalte und Zeile gestrichen und den jeweiligen ersten Wert der Spalte mit der Matrix multipliziert usw. Theoretisch müsste ich, wie du das erklärt hast nur (2⋅det(A4)−(−1)⋅det(A4)) streichen in meiner obigen Rechnung oder sehe ich das falsch?

Roman-22

22:01 Uhr, 17.01.2016

Und wieder weiß ich nicht, von welchem Rechenschritt du konkret sprichst.
Lies dir meine vorherige Antwort nochmal durch und versuche es einmal auf die langsame, systematische Art.

R

Johnny1994 aktiv_icon

22:09 Uhr, 17.01.2016

Also was müsste theoretisch nach dem zweiten Gleichheitszeichen stehen? Muss da auch

det (A_{5})

stehen oder nur die beiden

det (A_{4})

Matzen?

Roman-22

22:12 Uhr, 17.01.2016

Da steht eben ein Gleichheitszeichen, daher muss links und rechts davon etwas Gleichwertiges stehen. Wenn links

2 \cdot det (A_{5}),

dann muss das auch rechts stehen, denn weiter umformen möchtest du diesen Teil ja wohl nicht mehr, oder. Aber natürlich nusst du ihn bei der ganzen Rechnung mit schleppen.

R

Johnny1994 aktiv_icon

22:29 Uhr, 17.01.2016

Also ich habe jetzt folgendes gemacht:

det (\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}) = det (A_{6}) = 2 \cdot det (\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}) - (- 1) det (\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix})

= 2 \cdot det (A_{5}) + det (\begin{matrix} - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}) = 2 \cdot det (A_{5}) + (- 1 \cdot det (\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}) - (- 1) \cdot det (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}))

= 2 \cdot det (A_{5}) + (- 1 \cdot det (A_{4}) + det (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \end{matrix}))

Ist das so richtig? Hier erkenne ich auch die Rekursionsformel ;-)

LG Johnny

Roman-22

23:44 Uhr, 17.01.2016

Na bitte, man muss ja nur ein wenig warten, dann erkennst du deine Fehler selbst.
Vorher fehlten noch die Zeilenumbrüche und du hattest eine falsche 2 anstelle der

(- 1)

.

Jetzt ist es richtig und wenn du dann noch beachtest, dass, wie oben schon geschrieben, die Determinante eine Matrix mit einer aus nur Nullen bestehenden Spalte immer Null ergibt, dann bist du bereits bei

det (A_{6}) = 2 \cdot det (A_{5}) - det (A_{4})

.

Eine Rekursionsformel ist das zwar noch nicht, denn es gilt ja nur für

A_{6},

aber es wurde nichts verwendet, dass speziell

n = 6

voraussetzt und so sind die Schritte ausgehend von

det (A_{n})

haargenau die gleichen und dann hast du die allgemeine Rekursionsformel.

R

Johnny1994 aktiv_icon

23:52 Uhr, 17.01.2016

〉 I . B . :

∣∣An+1∣∣=.... =2⋅∣∣An∣∣−∣∣An−1∣∣=2⋅(n+1)−((n−1)+1)=2n+2−n=n+2

/

.

Und an der Stelle der

...

. musst du eben das Gleiche wie bei der 6er-Determinante schreiben, nur eben allgmein, also die Determinaten so angeben mit

. .

. wie in deinem ersten Posting.
Oder (vielleicht übersichtlicher) du zeigst den Zusammenhang in einer Nebenrechnung.<<

Hier muss ich das selbe nur verallgemeinern also mit

...

?

LG Johnny

PS: Vielen Dank für die Hilfe bis hierhin!

Johnny1994 aktiv_icon

23:54 Uhr, 17.01.2016

schon verstanden! ;-)

Roman-22

00:02 Uhr, 18.01.2016

Fein, dann wären wir ja durch.

R

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