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Determinante einer nxn-Matrix bestimmen

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Determinanten

Matrizenrechnung

Tags: Determinant, Matrizenrechnung

beyondFOX aktiv_icon

18:22 Uhr, 18.08.2020

Die nxn-Matrix zusammen mit einem Tipp ist im angehängten Bild zu sehen.

Die einzige Idee die ich dazu hätte ist die

a_{i j}

in die Leibniz'sche Summenformel einzusetzen aber wegen dem Tipp ist das glaube nicht das was gefordert ist.

Hat da irgendwer eine Idee zu?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

19:35 Uhr, 18.08.2020

Hallo,

ich würde

- die Matrix transponieren
- aus der i-ten Zeile den Faktor

i

herausziehen
- die angegebene Formel verwenden - beachte:

i^{2 \cdot j} = {(i^{2})}^{j}

Gruß pwm

anonymous

19:48 Uhr, 18.08.2020

Hallo,

det (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & ... & n \\ 1 & 2^{3} & 3^{3} & ... & n^{3} \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ 1 & 2^{2 \cdot n - 1} & 3^{2 \cdot n - 1} & ... & n^{2 \cdot n - 1} \end{matrix})

= det (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 2 & 2^{3} & 2^{5} & ... & 2^{2 \cdot n - 1} \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ n & n^{3} & n^{5} & ... & n^{2 \cdot n - 1} \end{matrix})

= n! \cdot det (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 2^{2} & 2^{4} & ... & 2^{2 \cdot n - 2} \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ 1 & n^{2} & n^{4} & ... & n^{2 \cdot n - 2} \end{matrix})

= n! \cdot det (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & {(2^{2})}^{1} & {(2^{2})}^{2} & ... & {(2^{2})}^{n - 1} \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ 1 & {(n^{2})}^{1} & {(n^{2})}^{2} & ... & {(n^{2})}^{n - 1} \end{matrix})

= n! \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n} (j^{2} - i^{2})

= n! \cdot \prod_{j = 2}^{n} \cdot \prod_{i = 1}^{j - 1} (j - i) \cdot (j + i)

= n! \cdot \prod_{j = 2}^{n} \cdot \frac{1}{j} \cdot \prod_{i = 1}^{2 \cdot j - 1} i

= \prod_{j = 2}^{n} \cdot \prod_{i = 1}^{2 \cdot j - 1} i

= \prod_{j = 2}^{n} (2 \cdot j - 1)!

= \prod_{j = 1}^{n - 1} (2 \cdot j + 1)!

beyondFOX aktiv_icon

22:20 Uhr, 18.08.2020

*bearbeitet*

Okay hat sich doch schon erledigt.

Mir wurde die andere Antwort nicht richtig auf dem Handy dargestellt.

Danke an euch beide!

beyondFOX aktiv_icon

22:44 Uhr, 18.08.2020

Vielen Dank für die ausführliche (und vermutlich aufwendig zu tippende Antwort)!

Könntest du evtl. nochmal kurz erklären was in dem Schritt, der zum Faktor 1/j führt und dem letzten Schritt passiert?
(Alles dazwischen und davor verstehe ich)

anonymous

22:50 Uhr, 18.08.2020

Das Produkt rechts neben dem

\frac{1}{j}

enthält den Faktor

j,

in dem Mutterterm darüber ist der aber gar nicht dabei,
also muss ich den ja wieder rauskürzen...

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