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Determinante ist stetige Abbildung

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Determinanten

Matrizenrechnung

Tags: Determinant, Matrizenrechnung, Norm, Stetigkeit

anonymous

17:51 Uhr, 28.09.2018

Hallo ich studiere Physik und bin was Mathe angeht nicht grade ein Profi, darum meine Frage:

Versehe den Vektorraum

M_{n} (C)

aller nxn-Matrizen mit der

∣ ∣ . ∣ ∣_{1, 1}

Norm.
Für

(a_{k l})_{1 \leq k, l \leq n}

gilt also

∣ ∣ A ∣ ∣_{1, 1} = \sum_{k = 1}^{n} m a x (∣ a_{k l} ∣ : l = 1, . . ., n)

.
Zeige, daß die Determinante det:

M_{n} (C) \to C

eine stetige Abbildung ist.

Meine erste Idee war es, die Stetigkeit über das Epsilon- Kriterium zu beweisen, jedoch fehlt mir nach oben eine Abschätzung um Epsilon zu definieren. Über die Dterminante weiß ich, das sie Eindeutig sit, jedoch seh ich nicht wie mir das bei der stetigkeit hilft.

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
Lg Daniel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Bummerang

18:50 Uhr, 28.09.2018

Hallo,

sei

ε \in ℝ

mit

ε > 0

beliebig gewählt. Dann sei

δ := \frac{ε}{n}

und es gilt:

δ

in Rr und

δ > 0

.

Dann sei

A'

eine beöiebige

n \times n

-Matrix mit den Elementen

(a_{k . l} + δ_{k, l}),

wobei

a_{k, l}

das entsprechende Element aus A ist und für

δ_{k, l}

gilt:

| δ_{k, l} | < δ

Dann gilt:

{| | A' | |}_{1,1} = \sum_{k = 1}^{n} max (| a_{k, l} + δ_{k, l} | : l \in {1, 2, . .

, n})

\leq \sum_{k = 1}^{n} max (| a_{k, l} | + | δ_{k, l} | : l \in {1, 2, . .

, n})

\leq \sum_{k = 1}^{n} max (| a_{k, l} | : l \in {1, 2, . .

, n}) + max (| δ_{k, l} | : l \in {1, 2, . .

, n})

= \sum_{k = 1}^{n} max (| a_{k, l} | : l \in {1, 2, . .

, n})

+ \sum_{k = 1}^{n} max (| δ_{k, l} | : l \in {1, 2, . .

, n})

< {| | A | |}_{1,1} + \sum_{k = 1}^{n} δ

= {| | A | |}_{1,1} + n \cdot δ

= {| | A | |}_{1,1} + ε

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19:00 Uhr, 28.09.2018

Damit ist gezeigt, dass die Norm stetig ist, aber was hat das mit
der Determinante zu tun. Die kommt hier ja gar nicht vor ??

Bummerang

19:24 Uhr, 28.09.2018

Hallo,

das hatte ich für Dich gelassen, aber wenn Du gar nichts machen willst, bitte:

| det (A) | = | \sum \prod a_{k, l} |

\leq \sum | \prod a_{k, l} |

\leq \sum | \prod max (| a_{k, l} |) |

= \sum | n \cdot max (| a_{k, l} |) |

= n \cdot \sum max (| a_{k, l} |)

= n \cdot {| | A | |}_{1,1}

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19:28 Uhr, 28.09.2018

Das gefällt mir ;-)

anonymous

17:56 Uhr, 06.10.2018

Perfekt beantwortet. Damit konnte ich arbeiten :-)

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