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Determinante mit Gauß berechnen? LGS schon gelöst
Universität / Fachhochschule
Tags: Determinatenberechnung, Gauß Verfahren, LGS
 
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Hallo, ich habe ein LGS Ax=z gelöst, von deren Matrix A ich nun die Determinante haben will. Ich weiß, dass das eigentlich nur Multiplikation der Diagonalen ist, jedoch kommt bei mir etwas falsches raus. z=(a,b,c,d) Die Matrix A = z = Umformungen: 1. -3*II+III 2. -I+II 3.-0,5*II+III 4. -4*III+IV bringen mich dann auf: * Demnach sind a=10 b=-9 c=-2 d=-3 Die det(A) müsste also = 1*2*3*14=84 sein. Laut Mathematica ist die Lösung aber det(A)=28 Die Lösungen für mein LGS stimmen ja, das Rückeinsetzten bringt wahre Aussagen. Könnt ihr mir helfen und mir sagen, was ich falsch gemacht habe? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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anonymous 20:44 Uhr, 16.02.2013 |
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Bei der 4. Umformung wurde wohl nicht -4*III+IV durchgeführt, sondern -4*III+3*IV. Da bei diesem Schritt also nicht nur ein Vielfaches einer anderen Zeile zur vierten Zeile addiert, sondern auch die vierte Zeile selbst mit 3 durchmultipliziert wird, beträgt auch die Determinante das 3-fache. Dass muss entsprechend korrigiert werden, indem man die Determinante der entstandenen Dreiecksmatrix durch 3 dividiert, wenn man die Determinante von A erhalten will: |
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Oh ja, da habe ich einen Schritt vergessen. Achso? Dann stimmt es ja, denn 84/3=28. Welche Regeln sind denn zu beachten, wenn ich die Determinante aus der Dreiecksgestalt ablesen/berechnen will? Danke und Grüße Mac |
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anonymous 21:02 Uhr, 16.02.2013 |
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Nun. Was du schon richtig gemacht hast. Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt ihrer Diagonaleinträge. Wenn man nun eine Matrix (nicht in Dreiecksform) mit Hilfe von Gaußumformungsschritten in die Dreiecksform überführt, gelten folgende Regeln für die Determinante: Wenn man zu einer Zeile das Vielfache einer anderen Zeile (wichtig: andere) addiert, so verändert sich die Determinante nicht. Wenn man eine Zeile skaliert, also mit einer Zahl durchmultipliziert, so ist die Determinante der neuen Matrix gleich dem -fachen der alten Matrix. Wenn man zwei Zeilen vertauscht ist die Determinante der neuen Matrix gleich dem -fachen der alten Matrix. Die gleichen Rechenregeln gelten auch für Spaltenumformungen. Schließlich ist die Determinante einer Matrix gleich der Determinante der transponierten Matrix. Erklären kann man dies dadurch, dass für quadratische Matrizen A und B. Denn die Schritte einer Gaußumformung entprechen Multiplikationen mit Elementarmatrizen. Die Elementarmatrix, welche eine Skalierung einer Zeile/Spalte mit dem Faktor bewirkt, hat die Determinante . Die Elementarmatrix, welche zu einer Zeile/Spalte eine andere Zeile/Spalte addiert, hat die Determinante 1. Die Elementarmatrix, welche zwei Zeilen/Spalten vertauscht, hat die Determinante . |
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Ah. Danke sehr. Mit dem -1 wusste ich, daher vermeide ich das möglichst. Dann muss ich daran denken, dass wenn ich das Vielfache, sagen wir a, einer Zeile zu dem Vielfachen, sagen wir b einer anderen Zeile rechne, dass die Determinante dann durch b geteilt werden muss. |
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