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Determinante,Minimalpolynom, charakeristisches Polynom, Eigenwerte......
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 18:44 Uhr, 07.02.2004  |
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Hallo, ich hoffe, ihr könnt mir hierbei helfen. Ich habe große Probleme, das Kapitel rund um Determinanten richtig zu verstehen. Kann mir jemand zeigen, wie man das charakteristische Polynom, das Minimalpolynom, Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren und Eigenräume am besten errechnet und darstellt. Schön wäre es, wenn es an einem Beispiel verdeutlicht würde. |
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Eine Determinante kann man entweder nach Zeilen bzw. Spaltenentwicklung berechnen oder durch Sarrus. Sarrus nur bei 2x2 oder 3x3 Matrizen. |1 2 3| Man denkt sich bei Sarrus die beiden rechten Spalten nochmal neben |4 5 6| der Matrix. Und addiert bzw. subtrahiert, die Diagonalen. addieren |7 8 9| die von links oben nach rechts unten. subtrahieren die von rechts oben nach links unten. 1*5*9 + 2*6*7 + 4*8*3 - 3*5*7 -2*4*9 - 6*8*1 Damit erhält man die Determinate der Matrix. Spaltenentwicklung (Zeilenentwicklung analog) Man nimmt die erste Zahl in diesem Fall 1. und streicht die erste Zeile und erste Spalte in Gedanken weg und multipliziert die "Restdeterminante". Dann nimmt man die zweite Zahl in der ersten Spalte (4) und streicht die erste Spalte und zweite Zeile in Gedanken weg... --> 1* |5 6| + 4*|2 3| + 7* |2 3| |8 9| |8 9| |5 6| Darauf wieder Sarrus: 1*(5*9-6*8) +4(2*9-3*8)+7*(2*6-3*5) Nun zum charakteristischen Polynom, Eigenwert und Eigenvektor. Die Rechnerisch auf sich aufbauen. Eigenwert: Gesucht ist das lamda. E ist die Einheitsmatrix. A = |1 2| A*lamdaE = |1 2|-lamda*|1 0| = |1-lamda 2 | |3 4| |3 4| |0 1| |3 4-lamda| Davon berechnet man dann wie oben die Determinate: Diese Gleichung nennt sich jetzt charakteristisches Polynom. Die Lösung für lamda sind Eigentwerte. In dem Beispiel kommt für lamda leider eine ganz doofe Zahl raus. Also rechne ich das Beispiel lieber nicht weiter. Wenn man jetzt die Eigenwerte hat, berechnet man für jeden Eigenwert einen Eigenvektor mit der Gleichung: (A-lamdaiE)Vi = 0 Die Vi's die diese Gleichung lösen sind sie Eigentvektoren. Alle Vektoren sind l.u.. Eigenraum ist laut Lex: Die Lösungsmenge {Vi} bildet einen Vektorraum, den zu lamdai gehörenden Eigenraum von A: E(lamda, A) Was ein Minimalpolynom ist weiß ich leider nicht. Hoffe ich konnte trotzdem weiterhelfen Liebe Grüße Mel |
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anonymous 20:48 Uhr, 07.02.2004 |
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| @Mel: Danke für deine Antwort. Du hast wirklich Licht ins Dunkl gebracht. Jrtzt wäre nur noch der Begriff des Minimalpolynom zu erklären | |
anonymous 19:03 Uhr, 18.03.2004 |
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Anm. zur Spalten-/Zeilenentwicklung der Determinanten: Die Vorzeichen müssen alternieren. Die Determinante von |1 2 3| |4 5 6| |7 8 9| (zur besseren Lesbarkeit so geschrieben: (1 2 3, 4 5 6, 7 8 9)) ist also 1 * det((5 6, 8 9) - 4 * det(2 3, 8 9) + 7 * det(2 3, 8 9)!!! Das Wichtige ist hier also das Minus vor der 4! Das Minimalpolynom: Das Minimalpolynom der Matrix A ist das eindeutig bestimmte, normierte (Koeffizient des Term größten Grades = 1) Polynom f kleinsten Grades für das gilt: f(A) = 0! Es kann über die Eigenwerte ausgerechnet werden, denn es gilt, dass die Eigenwerte einer Matrix die Nullstellen des Minimalpolynoms sind. Ich hoffe ich konnte helfen, Rainer |
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anonymous 20:17 Uhr, 18.03.2004 |
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| Wenn keine Eigenwerte doppelt auftreten, ist das MiPo. übrigens gleich dem charakteristischen Polynom. | |
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Also wenn die Charakteristische Polynom ist, dann ist MinimalpolynomHab ich's richtig verstanden? |
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| genau! | |
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Aber ist das immer so, dass man das Charakteristische Polynom einfach um seine Exponenten kürzt? Ich hab in einem Script ein Beispiel gefunden in dem das nciht der Fall ist. CP: X2 * (X-1)4 und MP: X * (X-1)3 Im Minimalpolynom wurde der Exponent nur um 1 gekürzt. Was gibt es da für eine Regel??? |
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anonymous 00:04 Uhr, 23.05.2006 |
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Die algebraische Vielfachheit eines Minimalpolynoms l�sst sich z.B so berechen: das charakteristische Polymon sei: (x-2)^2 Man hat einen gegebenen Eigenwert hier 2. dann rechnet man den Rang von (A-2E) aus, bleibt der Rang bei (A-2E)^2 gleich, so ist das Minimalpolynom : (x-2) gr��e |
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also, das minimalpolynom hat genausoviele nullstellen, wie das CP (das versuche ich allerdings grade zu beweisen..ist aber so). Und der grad vom MP ist maximal so groß, wie der vom CP.
du kannst also erstmal alle potenzen auf 1 setzen und dann guckst du, ob dieses polynom A shcon auf 0 auswertet. Ansonsten musst du halt sukzessiv die potenzen erhöhen (aber eben nicht höher, als beim CP!) Bsp.: Sei CP= (x-2)²x. dann kommen für das MP folgende in frage: und (x-2)²x. Falls du mehrere Potenzen hast, musst du eben durchgehen. |
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Also jetzt noch mal konkret: Ich habe die Matrix A: 3 0 -1 0 1 0 2 0 0 Dann wären die EW 1 und 2 und das CP: (1-x)^2 und (2-x) Wenn ich A-1E rechne kommt dann da 2 0 -1 0 0 0 2 0 -1 heraus mit Rg = 2 und damit ist es kein Minimalpolynom ( 1^2 = 1) Bei A-2E bleibt der Rang 3. D.h. das MP wäre (2-x) ? Wobei du ja meintest das es genauso viele Nullstellen gäbe wie beim CP. |
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