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Determinanten einer linearen Abbildung

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Tags: Angewandte Lineare Algebra, Determinant, Linear Abbildung, Vektorraum

anonymous

18:43 Uhr, 13.01.2022

Seien

K

ein Körper,

n

∈

N

und

B

∈ K^n×n. Bestimmen Sie (

\in

Abhängigkeit von

det B)

die Determinante der linearen Abbildung µB

: K

^n×n → K^nxn, µB(A) :=B⋅A

Ich vermute man muss das mit Basisvektoren für die Matrix

B

lösen, oder ? Aber wie mache ich das genau?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

JaBaa aktiv_icon

01:27 Uhr, 14.01.2022

Hi,

also bei mir ist die lineare Algebra schon etwas länger her, aber eigentlich musst du nur eine Basis vom

K^{n \times n}

wählen also

n^{2}

verschiedene Matrizen. Diese musst dann mit einer Basis vom

K^{n \times n}

darstellen. Dann stellst du die Darstellungmatrix zu deiner linearen Abblíldung auf. Dann berechnest du die Determinante von deiner Darstellungsmatrix.

Habe es kurz mal für den Fall

n = 2

überschlagen und es kommt etwas gutes raus, was man gut in Abhängigkeit von

\det (B)

darstellen kann.

Also meine Tipps: Überlege dir was eine gute Basis (in dem Fall meint gut eine einfache Basis) ist mit der du rechnen kannst. ( ich habe auf beiden Seiten die gleiche einfache Basis gewählt)

Probiere diese Basis für den Fall

n = 2

aus. Um sicher zu gehen probiere auch nochmal den Fall

n = 3

aus.

Am Ende schließe auf den allgemeinen Fall.

Eventuell kann man am Ende einen Induktionsbeweis daraus machen, aber dieser wäre wahrscheinlich nur noch Formsache.

Viele Grüße
Jabaa

anonymous

16:34 Uhr, 14.01.2022

Könnte ich den ganzen Beweis dann nicht per Induktion machen? Ich würde es erstmal für

n = 2

beweisen, da

n = 1

trivial erscheint. Sobald ich dann

n + 1

beweisen muss, würde ich die erhaltene Darstellungsmatrix per Laplace-Entwickulung von der Größe

(n + 1) x (n + 1)

auf

n x n

bringen und dies dann auf die Induktionvoraussetzung hinführen.

Bezüglich der Frage nach den Basen, würde ich einfach die Einheitsbasen wählen.
Also für

n = 2 :

E_{11} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), E_{12} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), E_{21} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), E_{22} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Und mit diesen dann die Darstellungsmatrix bezüglich

B

und

μ

bestimmen.
Würde das so klappen?

JaBaa aktiv_icon

18:27 Uhr, 14.01.2022

Was bekommst du den als Lösung heraus für

n = 2

bzw

n = 3

für die

\det (μ B)

? Was wäre denn deine Induktionsvoraussetzung ?

Ich weiß selber auch nicht genau wie du die Induktion beweisen kannst. Darüber habe ich auch nicht nachgedacht :-). Vielleicht kann man auch den allgemeinen Fall für

n

ganz ohne Induktion beweisen. Ich wollte dir nur einen Denkanstoß geben ;-). Wenn du eine Idee dazu hast verfolge diese erstmal.

Also ich habe deine Aufgabe nicht vollständig gelöst und weiß auch nicht den kompletten Lösungsweg und auch nicht jeden Schritt den es zu machen gilt.

Deine Basis habe ich genauso auch gewählt. Bei

B

musst du zwei Fälle unterscheiden.

B

regulär oder

B

nicht regulär. Aber ja du kannst damit einfach die Darstellungsmatrix bestimmen. Beachte auch noch: für den Fall

n = 2

ist deine Darstellungsmatrix eine

4 \times 4

Matrix. Für

n = 3

eine

9 \times 9

Matrix. etc

Viele Grüße

anonymous

03:20 Uhr, 15.01.2022

Ich hab einen kleinen Denkfehler mit dem Induktionsbeweis gehabt, das würde so nicht funktionieren wie ich es mir gedacht hab.

Für

n = 2

hab ich mit der Matrix

B = (\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix})

die Determinante

det μ = {(a \cdot d - b \cdot c)}^{2}

Für

n = 3

mit

B = (\begin{matrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{matrix})

die Determinante

det μ = {(a \cdot (e \cdot i - f \cdot h) - b \cdot (d \cdot i - f \cdot g) + c (d \cdot h - e \cdot g))}^{3}

raus.

Ich sehe auf jeden Fall, dass der Exponent gleich

n

ist und das in der Klammer stehende

det B

sein muss.
Also würde ich für die Allgemeinheit sagen, dass

det μ = {(det B)}^{n}

ist. Das einzig etwas schwierige is jetzt nur noch wie ich die Transformationsmatrix in der Allgemeinheit aufschreiben soll, da das etwas unschön bei mir aussieht.

Ansonsten schonmal vieln Dank für die ganze Hilfe :-)

JaBaa aktiv_icon

04:17 Uhr, 15.01.2022

Sieht doch schon mal alles ganz gut aus. Ich würde es probieren für den allgemeinen Fall für

n

aufzuschreiben. Ixch denke man kann dann mit der offensichtlichen Blockdiagonalgestalt argumentieren. Bei der Induktion habe ich so spät Nacht grade auch keine Idee :-). Aber ich denke bei der Aufgabe hast du schon den großteil der Punkte geholt, wenn du es ordentlich aufschreibst.

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