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Determinantenfunktion differenzierbar

Schüler

Tags: Determinante

gonnabeph aktiv_icon

10:19 Uhr, 01.11.2014

Hallo,
ich habe (mal wieder) eine für mich fast nahezu unlösbare Aufgabe vor mir liegen ;-)

Sei det die Determinantenfunktion auf dem Ring der

n \times n

Matrizen mit komplexen Einträgen.
Seien

a_{k, l} \in C, k, l \in {1, . . ., n}^{n} {(1, 1)}

Zeigen Sie, dass die Funktion:

f : R \to C : x \mapsto d e t (\begin{array}{rcl} x & a_{12} & . . . & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & . . . & a_{2 n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{n 1} & a_{n 2} & . . . & a_{n n} \end{array})

differenzierbar ist und berechnen Sie

f ʹ

.

Meine Ideen:
Wir haben in der Vorlesung eigentlich noch nichts mit Determinanten besprochen deswegen wundert es mich schon irgendwie das wir sollch eine Aufgabe bekommen.
Besonders viel fällt mir dazu nun auch nicht ein. Ich weiß noch aus der LA1 das wir eine Determinante auch als Reihe schreiben können mit der Leibniz Formel. Eventuell muss man dann diese Reihe nur einmal ableiten und hat die Ableitung der Determinante dort stehen?
Also:

d e t A = \sum_{σ \in S_{n}} s g n (σ) a_{σ (1) 1} \cdot . . . \cdot a_{σ (n) n}

und diese Reihe nun differenzieren. Ich muss allerdings auch dabei sagen, diese Reihe hatten wir auch nicht in der Vorlesung und ob man diese dann benutzen darf steht wohl auch auf einem anderen Blatt.
Über den Differentialquotienten scheint mir der Beweis wohl nicht zu klappen.

Kann jemand helfen? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

tommy40629 aktiv_icon

11:47 Uhr, 01.11.2014

(\begin{array}{rcl} x & a_{12} & . . . & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & . . . & a_{2 n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{n 1} & a_{n 2} & . . . & a_{n n} \end{array})

Zwischen den Dollarzeichen....Dollarzeichen muss das Folgende stehen. Und man muss es alles in EINE Zeile schreiben sonst klappt das nicht.

\left(\begin{eqnarray} x & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{eqnarray}\right)

Wie gesagt, das steht zwischen den

$

...

$

stehen.

gonnabeph aktiv_icon

14:12 Uhr, 01.11.2014

Ich habe mich nun etwas durch das Internet gewühlt und ich habe zumindest schonmal herausgefunden wie man die Determinante differenziert.

f ʹ = (\begin{array}{rcl} (x) ʹ & a_{12} & . . . & a_{1 n} \\ (a_{21}) ʹ & a_{22} & . . . & a_{2 n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ (a_{n 1}) ʹ & a_{n 2} & . . . & a_{n m} \end{array}) + (\begin{array}{rcl} x & (a_{12}) ʹ & . . . & a_{1 n} \\ a_{21} & (a_{22}) ʹ & . . . & a_{2 n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{n 1} & (a_{n 2}) ʹ & . . . & a_{n m} \end{array}) + . . . + (\begin{array}{rcl} x & a_{12} & . . . & (a_{1 n}) ʹ \\ a_{21} & a_{22} & . . . & (a_{2 n}) ʹ \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{n 1} & a_{n 2} & . . . & (a_{n m}) ʹ \end{array})

Das heißt, man leitet wohl die einzelnen Spalten (oder Zeilen) ab und addiert die Determinanten dann.

Hat jemand eine Idee wie ich das nun zeigen soll?

Besten Dank! :-)

gonnabeph aktiv_icon

14:22 Uhr, 03.11.2014

Kann mir noch jemand helfen?

tommy40629 aktiv_icon

18:02 Uhr, 03.11.2014

Ich habe mal LA1 mit der onlinevorlesung von Prof Anton Deitmar gelernt, er macht das glaube ich in seiner Vorlesung in einem Beweis.

Die Videos sind auf timms zu finden. google: "lineare algebra 1 deitmar timms"

gonnabeph aktiv_icon

14:57 Uhr, 04.11.2014

Besten Dank tommy ich habe aber selber nochmal etwas rum probiert.

Wenn ich nun die Determinante nach der ersten Zeile entwickle erhalte ich:

d e t (f) = x \cdot d e t (f_{11}) - a_{12} d e t (f_{12}) + . . . \pm a_{1 n} d e t (f_{1 n})

Nun gilt:

d e t (f) = x \cdot \underset{c o n s t}{\underset{⎵}{d e t (f_{11})}} - \underset{c o n s t}{\underset{⎵}{a_{12} d e t (f_{12})}} + . . . \pm \underset{c o n s t}{\underset{⎵}{a_{1 n} d e t (f_{1 n})}}

Nun kann ich argumentieren das

f

als Komposition stetiger Funktionen stetig ist.
Die Ableitung ist dann:

f ʹ = d e t (f_{11})

Kann ich das so durchziehen?

Besten Dank! :-)

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