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Dezimalbruch Bruchstrichbruch

Schüler

Tags: Bruchstrichbruch, dezimalbruch

Migma aktiv_icon

01:52 Uhr, 25.10.2014

Hallo Leute erstmal eine Begrüßung, grüßt Euch, ich kann nur deutsch, wenig englich.

Nun folgt meine Frage:

Wie wandelt man einen Dezimalbruch in eine möglichst einfachen Bruchstrichbruch um?

Beispiele:

d = \frac{x}{y}

1,12244897959184 = \frac{x}{y}

1,12244897959184 = \frac{55}{49}

gibt es dafür einen Rechenweg?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Ma-Ma aktiv_icon

02:53 Uhr, 25.10.2014

Ich zeige Dir ein paar Beispiele, sicher kommst Du dann bei Deiner Aufgabe selber weiter

. .

0,5 \cdot \frac{10}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} ... ... ... .

. ( mit 5 gekürzt)

0, 388 \cdot \frac{1000}{1000} = \frac{388}{1000} = \frac{194}{500} = \frac{97}{250} ...

. (mehrmals gekürzt mit

2)

0, 4234555 \cdot \frac{10000000}{10000000} = \frac{4234555}{10000000} =

....(jetzt kürzen mit

5)

Ähnlich kannst Du auch Deine Aufgabe berechnen.
LG Ma-Ma

Zeus55 aktiv_icon

05:30 Uhr, 25.10.2014

Ich vermute mal das der TE keinen exakten Bruch für eine Zahl haben will sondern eine Bruch der eine gute Näherung für die Zahl ist.

1,12244897959184 \neq \frac{55}{49}

allerdings ist der Fehler nur minimal.

Um eine gute Näherung zu erhalten benötigt man die Kettenbruch entwicklung.
Hier ein bsp dazu nur mit einer kleineren Zahl:

1,122 = \frac{561}{500}

1 + \frac{61}{500}

1 + \frac{1}{\frac{500}{61}}

1 + \frac{1}{8 + \frac{12}{61}}

1 + \frac{1}{8 + \frac{1}{\frac{61}{12}}}

1 + \frac{1}{8 + \frac{1}{5 + \frac{1}{12}}}

Wenn der letzte Bruch die Form

\frac{1}{a}

hat ist man fertig. Man kann auch schon vorher aufhören nur kann ich dir nicht sagen wann. Nur so viel den Bruch den man weglässt(rundet) sollte möglichst klein sein und möglichst spät im Kettenbruch vorkommen, da sonst der Fehler zu groß wird.
Naja hier lasse ich

\frac{1}{12}

weg.

1 + \frac{1}{8 + \frac{1}{5}}

1 + \frac{1}{\frac{41}{5}} = 1 + \frac{5}{41} = \frac{46}{41} \approx 1,121951219512195

Fehler:

~ 4,9 \cdot 10^{- 5}

Für deine Zahl endet der Kettenbruch auf

\frac{1}{127551020408}

lässt man diese Zahl weg und rechnet wieder zurück dann erhält man

\frac{55}{49}

ledum aktiv_icon

12:57 Uhr, 25.10.2014

Hallo
wenn der Dezimalbruch nicht periodisch ist, einfach durch die passende Zehnerpotenz teilen und kürzen, soweit es geht, Wenn er periodisch ist frag noch mal, dein ergebnis ist nicht exakt! also willst du den exakten Wert, oder einen der nur beinahe stimmt? dann muss man vorher sagen, wie groß der Nenner sein darf, 1 Stelle, 2 Stellen usw.
Gruß ledum

Migma aktiv_icon

22:47 Uhr, 25.10.2014

Hallo Leute, Ma-Ma, Zeus55, und ledum;

ja, Zeus55, stimmt die Zahl ist mir genau genug. Richtig ist, ich brauche die Zahlen nicht so genau. 1,12244897959184, ist schon eine lange Zahl. - Aber das ist es ja, x und y sind unbekannt. Zwar kann ich teils, teils kürzen, aber wie komme ich an die 55 und die 49? Die zwei Zahlen kenne ich ja nicht. - .. wodurch weiß ich, ob, wie und wo ich mit 5 oder 4 beginnen muss? 2 Stellen reichen in diesem Fall. Hier kann ich noch raten, und am Ende sehen ob es genau genug ist.

Das 1. Rechenpäckchen ist ja der Beginn meiner Zahl. Oberhalb ist die 1. Zehnerziffer ja schon richtig; die Zahl aber ist zu groß; - nur vorher, - weiß ich das noch nicht.
Aber auch im Kettenbruch, weiß ich vorwärts nicht, was als nächstes dran ist; - geschweige das Ganze zurück zu rechnen.

Kann man hier ein Beispiel, für die Zahlen 55 und 49 geben?

Gestartet werden müsste mit: 1,12244897959184

Nachbearbeitet am 28.10.2014 um 14:10d = Dezimalzahl

Bekannt ist ja nur d .

Also d = x/y bzw. d = z/n

d = Dezimalzahl
z = Zähler
n = Nenner

Welche Rechnung muss ich machen, um die Funktion zu bewirken.

Zeus55 aktiv_icon

14:02 Uhr, 26.10.2014

Ok hier mal die Fertige Kettenbruch entwicklung von

1,12244897959184

1,12244897959184 = \frac{7015306122449}{6250000000000}

\frac{7015306122449}{6250000000000} = 1 + \frac{1}{8 + \frac{1}{6 + \frac{1}{127551020408}}}

\frac{1}{127551020408}

lässt man weg. Zur Verdeutlichung habe ich mit 0 ersetzt

1 + \frac{1}{8 + \frac{1}{6 + 0}}

Und dass rechnet man einfach mit ganz normalen Rechenregeln von Brüchen zurück.

1 + \frac{1}{8 + \frac{1}{6}} = \frac{55}{49}

Noch mal genauer zur Kettenbruch entwicklung. Alerdings nicht mit deiner Zahl weil das rechnen mit großen Zahlen sehr unüberschtlich ist.

Wieder mein bsp mit

1,122 :

Zuesrt in einen gekürtzten bruch umwandeln

1,122 = \frac{561}{500}

Der Zähler ist größer als Nenner->Wie oft passt der Zähler in den Nenner? 1 mal. Also das ganze so aufteielen:

1 + \frac{61}{500}

nun den Kehrbruch vonn

\frac{61}{500}

bilden

1 + \frac{1}{\frac{500}{61}}

Der Zähler ist größer als Nenner->Wie oft passt der Zähler in den Nenner? 8 mal. Also das ganze so aufteielen:

1 + \frac{1}{8 + \frac{12}{61}}

nun den Kehrbruch vonn

\frac{61}{12}

bilden

1 + \frac{1}{8 + \frac{1}{\frac{61}{12}}}

Der Zähler ist größer als Nenner->Wie oft passt der Zähler in den Nenner? 5 mal. Also das ganze so aufteielen:

1 + \frac{1}{8 + \frac{1}{5 + \frac{1}{12}}}

Übrigens hat deine Zahl eine sehr kurze Kettenbruch entwicklung. Man kann diese auch übersichtlicher nur mit den ganzen Zahlen vor dem Bruch beshreiben.
Also für

1 + \frac{1}{8 + \frac{1}{6 + \frac{1}{127551020408}}}

(1; 8; 6; 127551020408)

Bei ungünstigeren Zahlenn kan der Kettenbruch sehr lang werden

z . B

für

1,383311411876

\to (1; 2; 1; 1; 1; 1; 3; 1; 11; 1; 7; 1; 16; 4; 5; 2; 1; 3; 1; 1; 2; 3; 1; 3; 2; 1; 4; 1; 4)

Diese bezeichne ich jetzt mal als das

f_{i}

-te Glied der Kettebruch entwicklung

Man kann den i-ten Näherungsbruch

\frac{z_{i}}{n_{i}}

so berechnen:

z_{i} = f_{i} \cdot z_{i - 1} + z_{i - 2}

n_{i} = f_{i} \cdot n_{i - 1} + n_{i - 2}

Wobei

z_{- 2} = 0; z_{- 1} = 1

n_{- 2} = 1; n_{- 1} = 0

Migma aktiv_icon

14:57 Uhr, 28.10.2014

Hallo Zeus5,

zunächst möchte ich erst einmal DANKESCHÖN sagen.
Für mich, mit meinem fehlenden Wissen, sieht das sehr interessant aus.
=====================================================================================

Ok hier mal die Fertige Kettenbruch entwicklung von 1,12244897959184
1,12244897959184=70153061224496250000000000

70153061224496250000000000=1+18+16+1127551020408
1127551020408 lässt man weg. Zur Verdeutlichung habe ich mit 0 ersetzt
1+18+16+0
Und dass rechnet man einfach mit ganz normalen Rechenregeln von Brüchen zurück.
1+18+16=5549

Noch mal genauer zur Kettenbruch entwicklung. Alerdings nicht mit deiner Zahl weil das rechnen mit großen Zahlen sehr unüberschtlich ist.

Wieder mein bsp mit 1,122: Zuesrt in einen gekürtzten bruch umwandeln
1,122=561500
Der Zähler ist größer als Nenner->Wie oft passt der Zähler in den Nenner? 1 mal. Also das ganze so aufteielen:
1+61500
nun den Kehrbruch vonn 61500 bilden
1+ 1 50061
Der Zähler ist größer als Nenner->Wie oft passt der Zähler in den Nenner? 8 mal. Also das ganze so aufteielen:
1+18+1261
nun den Kehrbruch vonn 6112 bilden
1+18+ 1 6112
Der Zähler ist größer als Nenner->Wie oft passt der Zähler in den Nenner? 5 mal. Also das ganze so aufteielen:
1+18+15+112

Übrigens hat deine Zahl eine sehr kurze Kettenbruch entwicklung. Man kann diese auch übersichtlicher nur mit den ganzen Zahlen vor dem Bruch beshreiben.
Also für
1+18+16+1127551020408

(1;8;6;127551020408)

Bei ungünstigeren Zahlenn kan der Kettenbruch sehr lang werden z.B für
1,383311411876
→(1;2;1;1;1;1;3;1;11;1;7;1;16;4;5;2;1;3;1;1;2;3;1;3;2;1;4;1;4) Diese bezeichne ich jetzt mal als das fi -te Glied der Kettebruch entwicklung

Man kann den i-ten Näherungsbruch zini so berechnen:
zi=fi⋅zi−1+zi−2
ni=fi⋅ni−1+ni−2

Wobei
z−2=0;z−1=1
n−2=1;n−1=0

===================================================================================

Entschuldigung:
Ich muss mich erst noch Mal mit Deiner Antwort beschäftigen, und dann mit den Latxbefehlen oder den Formeleditor. - Vielleicht steige ich dann langsam dahinter. Ich vermute, - JA. - Erst danach, antworte ich noch einmal.

mfG Migma

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