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Dezimalbruchdarstellung
Universität / Fachhochschule
Analytische Zahlentheorie
Tags: Bruch, bruch bestimmen, Darstellung als Bruch, dezimalbruch, rationale Zahl
 
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Hallo zusammen, ich bräuchte dringend einen Beweis. Die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl ist entweder abbrechend oder periodisch. Ich finde irgendwie nirgends etwas verständliches. LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hast du hier mal nachgeschaut: http//www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/personal/krauter/kurse/WS_05_06/DezDarst.pdf mfG Atlantik |
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Auf dieser Seite war ich schon, und das Verfahren, das verwendet wird, kenne ich schon. Nur erkenne ich nicht wirklich einen sinnvollen Beweis in dem pdf erkennen. Zumindest keinen, der mir logisch und nachvollziehbar erscheint. |
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Hallo, eine rationale Zahl ist der Wert, der aus einen gemeinen Bruch mit ganzzahligem Zähler und natürlichem Nenner dadurch entsteht, dass man den Bruch als Division auffasst und diese auch ausführt. Da kann es nun sein, dass diese Division irgendwann aufgeht, das Ergebnis hat endlich viele Stelle. Es ist aber auch möglich, dass die Division unendlich lang weiter geht. Jetzt entsteht im Divisionsverfahren in jedem Schritt ein Rest, an dem für den nächsten Schritt die Ziffer Null angehängt wird, der also mit multipliziert wird. Dieser Rest ist immer kleiner als der Divisor, es gibt für ihn genau Möglichkeiten: denn hieße ja endliche Division. Es gibt also nur endlich viele Möglichkeiten für verschiedenen Reste, . spätestens nach Schritten in den Nachkommastellen muss eine Null als Rest entstehen oder ein Rest, der zuvor schon einmal aufgetreten ist. Sobald aber ein Rest entsteht, der im Divisionsalgorithmus schon einmal an einer Nachkommastelle aufgetreten ist, geht es im nächsten Schritt mit genau dem selben Wert (dem Zehnfachen des Restes) weiter, wie es bereits vorher schon einmal geschehen ist. Und das 10-fache des Restes läßt unweigerlich wieder den selben Rest . . Der Algorithmus wiederholt sich und damit gibt es auch wieder eine neue Nachkommastelle, an der der Rest das dritte Mal entsteht. Und da der Ablauf der Reste zwischen dem ersten Rest und dem zweiten Rest der selbe ist wie zwischen dem zweiten Rest und dem dritten Rest ist die Folge der Nachkommaziffern ebenfalls identisch und damit periodisch. Damit führen rationale Zahlen, die ja als Äquivalenzklassen gemeiner Brüche definiert sind, in der Dezimaldarstellung immer zu einem endlichen oder unendlich, periodischen Ziffernfolge. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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