Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Dgl 1. Ordnung y ' + = y 2 x x, y(1 ) = 1.

Dgl 1. Ordnung y ' + = y 2 x x, y(1 ) = 1.

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

aas430 aktiv_icon

19:47 Uhr, 22.12.2009

Hallo,

kennt jemand die Lsg der DGL:

y' + \frac{y}{2 \cdot x} = x

?

Komme da mit Subst auch nicht weiter.

Danke Chris

BjBot aktiv_icon

19:59 Uhr, 22.12.2009

Wie immer erstmal homogene Lösung finden und dann die spezielle.
Für die spezielle reicht schon der Ansatz y=ax² und anschließender Koeffizientenvergleich.

aas430 aktiv_icon

20:12 Uhr, 22.12.2009

Die homogene Form sollte die Lsg von

y´+(y/2*x)=0 sein.

Habe ich ausgerechenet:

Y = \frac{C}{\sqrt{x}}

Wie gehts jetzt weiter, ich weiß nicht was du meinst.

BjBot aktiv_icon

21:48 Uhr, 22.12.2009

Genau und dann die spezielle Lösung mit dem Ansatz y=ax² bzw y'=2ax

Durch Multiplizieren mit 2x hat man 2xy'+y=2x² und dann halt den Ansatz benutzen:

4ax²+ax²=2x² <=> 5ax²=2x² <=> a=0,4

Die allgemeine Lösung ist dann y_hom + y_spez und durch dein AWP kriegst du dann auch das C.

aas430 aktiv_icon

12:14 Uhr, 23.12.2009

Hey, den Ansatz für y(spezielle Lösung?) verstehe ich nicht wo hast du die ax² den her? Bin sehr an dem Lösungsweg intressiert!
Habe auch selber noch einen anderen gefunden:

y=(∫r*e^(∫a)dx)*(e^(-∫a))

bedeutet:

y=(∫x*e^(∫1/(2*x)dx)*(e^(-∫1/(2*x))

y = (

∫x*e^(

\sqrt{x}) d x) \cdot (\frac{1}{\sqrt{x}})

y = 2 \cdot \frac{x^{2}}{5} + \frac{c}{\sqrt{x}}

anonymous

12:33 Uhr, 23.12.2009

bei dieser gleichung kann mans noch halbwegs erkennen, bei komplizierteren gleichungen kann ich es zumindest nicht mehr.

den allgemeinen ansatz kann man "ansatz vom typ der rechten seite" nennen.

die rechte seite ist (nach dem umstellen) ein polynom 2. grades.

ein allgemeines polynom 2. grades ist:

y_{p} (x) = A + B x + C x^{2}

man versucht nun die koeffizienten so zu bestimmen, dass dieses polynom 2. grades die inhomogene differentialgleichung erfüllt. du kannst dir das so vorstellen, dass du eine funktionsschar gegeben hast, für die du den freien parameter bestimmen sollst, dass die funktion durch einen bestimmten punkt geht.

du setzt also deine ansatzfunktion in die DGL ein, dazu brauchst du noch die ableitung.

y_{p}' (x) = B + 2 C x

eingesetzt ergibt das nun:

2 B x + 4 C x^{2} + A + B x + C x^{2} = 2 x^{2}

die koeffizienten vor den x-potenzen müssen ja alle gleichzeitig stimmen, daraus erhältst du das gleichungsystem:

x^{0} : A = 0

x^{1} : 2 B + B = 0 \Rightarrow B = 0

x^{2} : 4 C + C = 2 \Rightarrow C = \frac{2}{5} = 0.4

@BjBot: kannst du kurz erklären, wie man allgemein vorher schon sehen kann, welche koeffizienten 0 werden?

anonymous

12:49 Uhr, 23.12.2009

dein ansatz ist "variation der konstanten"

im eindimensionalen fall lässt sich die formel so herleiten:

normierte DGL 1. Ordnung:

y' + a (x) y = b (x)

homogener teil:

y' + a (x) y = 0

- trennung der variablen (kennst du ja, deswegen nur das ergebnis)

y_{h} (x) = e^{- \int a (x) d x}

die lösung des Integrals sei:

A (x) + K

und mit

e^{K} = C

ebenfalls gilt:

A' (x) = a (x)

y_{h} (x) = C e^{- A (x)}

jetzt ist die überlegung, dass man

C

so verändert, dass es die DGL löst:
also wird die konstante variiert, zu einer (unbekannten) funktion gemacht.

C \to C (x)

y_{h} (x) = C (x) e^{- A (x)}

nun muss man ebenfalls wieder mit der ansatzfunktion in die ausgangsgleichung gehen.

y_{h}' (x) = C (x) \cdot e^{- A (x)} \cdot - a (x) + C' (x) e^{A (x)}

einsetzen:

- C (x) \cdot e^{- A (x)} \cdot a (x) + C' (x) e^{- A (x)} + a (x) \cdot C (x) \cdot e^{- A (x)} = b (x)

nun fällt eine menge raus, übrig bleibt:

C' (x) e^{- A (x)} = b (x)

C' (x) = b (x) \cdot e^{A (x)}

C (x) = \int b (x) \cdot e^{A (x)} d x

bei dieser integration erhältst du auch wieder eine konstante und damit deinen freiheitsgrad für das AWP.

in deinem fall:

a (x) = \frac{1}{2} x

b (x) = x

A (x) = \frac{1}{2} ln (x) = ln (\sqrt{x})

e^{A (x)} = \sqrt{x}

b (x) \cdot e^{A (x)} = x \cdot \sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}}

C (x) = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + K

y (x) = \frac{\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{x}} + \frac{K}{\sqrt{x}}

y (x) = \frac{2}{5} x^{2} + \frac{K}{\sqrt{x}}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

699771

699650

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?