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Diagonaldominante Matrix

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

richard aktiv_icon

07:56 Uhr, 17.04.2014

Hallo,

ich bräuchte einen Ansatz zur folgenden Aufgabe:

Sei

A \in ℝ^{n \times n}

eine diagonaldominante Matrix, d.h. es gilt

∣ a_{i i} ∣ > \sum_{j = 1, j \neq i}^{n} ∣ a_{i j} ∣, 1 \leq i \leq n

.
Man soll dann zeigen dass A invertierbar ist.

Hätte jmd einen Ansatz?

Viele Grüße
R.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

08:49 Uhr, 17.04.2014

Es ist möglich, die Matrix

A

als Summe

A = D + R

zu schreiben,
wobei

D

- reine Diagonalmatrix ist (außer auf der Diagonale ist alles 0) und

R = A - D

- also "Restmatrix", wo auf der Diagonale immer 0 steht.
Die Matrix

D

ist invertierbar, also können wir

A = D (I + D^{- 1} R)

schreiben mit

I

=Einheitsmatrix. Und

(I + D^{- 1} R)

ist auch invertierbar, ihre Inverse ist

I - D^{- 1} R + (D^{- 1} R)^{2} - (D^{- 1} R)^{3} + (D^{- 1} R)^{4} . . .

, die Reihe konvergiert aufgrund der Annahmen über

a_{i j}

.
Das ist der grobe Plan, versuch die Einzelheiten zu füllen.

richard aktiv_icon

08:54 Uhr, 17.04.2014

Danke das war hilfreich.

evtl melde ich mich nochmal aber ich glaube ich weiß was ich zu Tun habe.

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