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Diagonalisierbare Matrizen
Universität / Fachhochschule
Tags: Diagonalisierbarkeit, Lineare Unabhängigkeit, Matrix
 
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Hallo Ich setze mich derzeit mit Eigenwerten und Eigenvektoren und daher auch mit diagonalisierbaren Matrizen aus und stehe nun vor ein paar Hürden, die ich beim besten Willen nicht nehmen kann - daher wäre ich für eine Unterstützung sehr dankbar. Ein Satz behauptet Folgendes: Eine Matrix A M(nxn, K) ist genau dann diagonalisierbar bzw. diagonalähnlich, wenn eine Basis des existiert, die aus Eigenvektoren von A besteht. Den Beweis dieser Äquivalenzaussage habe ich verstanden und trotzdem ist mir etwas unklar - nämlich: Kann eine diagonalisierbare Matrix A M(nxn, K) mehr als n linear unabhängige Eigenvektoren besitzen? Offensichtlich nicht, beschreibt sie doch einen Endomorphismus im , dessen Dimension n ist. Trotzdem komme ich mir auf unsichrem Boden vor, als würde mir eine wichtige Erkenntnis entgehen. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo, da hast du vollkommen Recht. Die Matrix beschreibt einen Endomorphismus eines -dimensionalen Vektorraums, dessen Basen bestehen aus Vektoren. Sia kann natürlich weniger als linear unabhängige Eigenvektoren besitzen. Dann ist sie eben nicht diagonalisierbar. Einfaches Beispiel: Gruß ermanus |
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Also - ich verstehe, dass eine quadratische Matrix A M(nxn, K) höchstens n linear unabhängige Spalten bzw. Zeilen haben kann. Das ist ja offensichtlich. Weniger offensichtlich ist es aber für mich, dass dieselbe Matrix höchstens n linear unabhängige Eigenvektoren bzw. höchstens n Eigenwerte haben kann - gibt es einen Beweis dafür? |
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Da in dem zugrundeliegenden Raum je Vektoren linear abhängig sind, sind mehr als Eigenvektoren linear abhängig. Sei eine -Matrix. Ein ist genau dann Eigenwert von , wenn es ein gibt mit , d.h. , also . Da ist, kann die Matrix nicht invertierbar sein. Es muss also sein. Damit ist dann eine Nullstelle des Polynoms . Dies ist offenbar ein Polynom vom Grade , und über einem Körper hat ein Polynom vom Grade höchstens Nullstellen. Daher gibt es höchstens Eigenwerte. |
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Danke! Kann man deinen Beweis folgendermassen umformulieren? Da das charakteristiche Polynom einer quadratischen Matrix A M(nxn, K) den Grad n hat und da seine Nullstellen nichts anderes sind als die Eigenwerte von A und da es davon (gemäss dem Fundamentalsatz der Algebra) höchstens n gibt in R und genau n in C, zählt man mit der richtigen Vielfachheit, dann hat A höchstens n Eigenwerte. |
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Ja. Da alles, was du über das charakteristische Polynom etc. sagst, ja in meinem Beitrag nochmal bewiesen oder benutzt wurde. Das ist sozusagen äquivalent. |
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Vielen Dank, du hast mir sehr gut geholfen. Es ist gar nicht schwierig eigentlich und trotzdem verstehe ich (aus mir unverständlichen Gründen) manchmal gar nichts mehr ... :-) |
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