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Diagonalisierbare Matrizen, prüfen und erstellen

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Determinanten

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Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: Determinanten, Eigenwert, Lineare Abbildungen, Matrizenrechnung

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20:26 Uhr, 04.03.2012

A = (\begin{array}{rcl} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})

Prüfen Sie ob die Matrix diagonalisierbar ist und geben Sie gegebenenfalls eine der ähnlichen Diagonalmatrizen an.

Berechnung der Eigenwerte:

d e t (A - λ E) = - λ * (λ^{2} - 1)

Die Eigenwerte sind also:

λ_{1} = 0

λ_{2} = 1

λ_{3} = - 1

3 verschiedene reele Eigenwerte,

d i m (V) = 3 \to

A ist diagonalisierbar

Berechnung der Eigenräume:

(A - 0 E) x = 0

gilt für

〈 (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) 〉

(A - 1 E) x = 0

gilt für

〈 (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) 〉

(A + 1 E) x = 0

gilt für

〈 (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) 〉

Damit habe ich eine Basis

B_{1} = {(\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}), (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})}

Nun stelle ich die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis

B_{1}

dar.

(\begin{array}{rcl} 0 & 1 & - 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}) * (\begin{array}{rcl} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) \to (\begin{array}{rcl} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{array})

Ist das grundsätzlich der richtige Weg?

Mein weiteres Vorgehen wäre:

- 2. Spalte von A bezüglich

B_{1}

- 3. Spalte von A bezüglich

B_{1}

T^{- 1}

besteht aus den Basisvektoren von

B_{1}

T

berechnen

- Aus den zuvor berechneten Vekotren bezüglich

B_{1}

eine Abbildungsmatrix

M_{B_{1}}^{S}

erstellen

-

T * M_{B_{1}}^{S} * T^{- 1}

berechnen

Das erscheint mir alles ziemlich aufwendig.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

dapso aktiv_icon

20:31 Uhr, 04.03.2012

Hallo
Da du drei paarweise verschiedene Eigenwerte hast, ist die Matrix diagonalisierbar und ähnlich zu

(\begin{array}{rcl} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array})

barracuda317 aktiv_icon

20:34 Uhr, 04.03.2012

Na super. :-D). Was war das, was ich machen wollte?

dapso aktiv_icon

20:35 Uhr, 04.03.2012

Du wolltest die Tranfsformationsmatrizen bestimmen. Das war aber nicht gefordert.

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20:37 Uhr, 04.03.2012

T * M_{B_{1}}^{S} * T^{- 1}

hätte das gleiche Ergebnis liefern müssen?

dapso aktiv_icon

20:38 Uhr, 04.03.2012

Ja.

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20:39 Uhr, 04.03.2012

Danke :-), dann versuche ich mich nochmal an der 2. Aufgabe.

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11:31 Uhr, 05.03.2012

Guten Morgen,

wie versprochen hier nach viel Rechnerei (hatte einen Denkfehler beim Sarrus, der viele Rechenfehler der Vergangenheit erklärt) der 2. Teil Ich habe nach der 3. Zeile entwickelt.

B : (\begin{array}{rcl} - 2 & 1 & - 4 & - 4 \\ - 3 & 2 & - 3 & - 3 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 4 & 3 \end{array})

d e t (B - λ E) = λ^{4} - 2 λ^{3} - 3 λ^{2} + 4 λ + 4

Nun müsste ich von diesem Polynom die Nullstellen berechnen. Eine Nullstelle habe ich durch

(- 1 - λ) * . . .

bereits gesehen.

Zu prüfen ist nun noch der Fall:

- λ^{3} + 3 λ^{2} - 4 = 0

Kann ich das berechnen oder muss ich mal ein paar Werte einsetzen? Die Nullstelle ist bei 2.

Wie kann ich nun prüfen ob Sie diagonalisierbar ist? Ich habe 2 unterschiedliche reelle Eigenwerte. Ich weiß, dass es etwas mit der Dimension zu tun hatte. Aber Dimension wovon?

Zu guter letzt die Frage: War das nötig? Oder sehe ich die Diagonalisierbarkeit auch ohne Berechnen der Eigenwerte. Mir ist nur bekannt, dass symmetrische Matrizen diagonalisierbar sind.

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