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Diagonalisierbarkeit
Universität / Fachhochschule
Tags: Diagonalisierbarkeit
 
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Sind diese Matritzen diagonalisierbar? Fassen Sie die Matrix dabei einmal als reelle Matrix und einmal als komplexe Matrix auf. und Erst mal zu . Ich habe den Eigenwert (algebraische Vielfachheit ist . Laut Lösung, hat mann jetzt schon sagen können, dass A nicht diagonalisierbar ist. Aber wie kann man es jetzt schon sehen? Müssten wir nicht erst noch auf die geometrische vielfachheit untersuchen, um zu sagen, ob A diagonalisierbar ist oder nicht. Zu Mein charackteristisches Polynom somit ist mein Eigenwert . In der Lösung steht, wir haben nur ein Eigenwert, deshalb ist es nicht im reellen diagonalisierbar. Müssten wir aber hier auch noch nicht auf die geometrische vielfachheit untersuchen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Müssten wir nicht erst noch auf die geometrische vielfachheit untersuchen, um zu sagen, ob A diagonalisierbar ist oder nicht." In diesen beiden Fällen nicht. 1. Wäre die Matrix diagonalisierbar, würde gelten, woraus folgen würde. Das stimmt aber nicht. ( ist die Einheitmatrix). 2. Geometrische Vielfachheit ist immer kleiner oder gleich algebraische. Daher hat hier der einzige Eigenwert automatisch die geom. Vielfachheit . |
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1. Wenn die Matrix A diagonalisierbar ist, gilt doch: wie kommst du auf Also ist die Diagonalmatrix oder? aber warum 2. unser eigenwert hat die algebraische vielfachheit 1 . somit ist doch auch die geometrische vielfachheit 1 . also ist doch: geometrische vielfachheit algebraische vielfachheit ,somit müsste es doch diagonalisierbar sein ? |
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"Also ist die Diagonalmatrix D=2⋅E3 oder? aber warum" Weil Du einen Eigenwert hast, mit der algebraischen Vielfachheit . Oder, was glaubst Du, steht auf der Diagonale der Diagonalmatrix? "also ist doch: geometrische vielfachheit =1= algebraische vielfachheit ,somit müsste es doch diagonalisierbar sein ?" Wer hat das gesagt? Diagonalisierbar ist eine Matrix nur, wenn die Summe der geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte gleich ist (Größe der Matrix). Hier ist die Summe und das ist weniger als . Lerne bitte die Theorie. |
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Alles klar habs verstanden. Nun sollen wir die Matrix A und als komplexe Matrix auffassen und schauen ob sie im komplexe diagonalisierbar ist. Was meint man als komplexe auffassen? wie sieht die Matrix A komplex aufgefasst aus? |
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Die Matrix sieht genauso aus, aber jetzt sind auch komplexe Eigenwerte zugelassen. Daher bekommst Du mehr Eigenwerte und in diesem Fall auch die Diagonalisierbarkeit. |
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Also ich denke mal das charakteristische Polynom bleiben gleich, da die Matrix sich ja nicht ändert. wie krieg denn hier komplexe eigenwerte raus? ich muss ja die charakteristischen polynome null setzen, aber was dann? |
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"ich muss ja die charakteristischen polynome null setzen, aber was dann?" Na was dann, die quadratische Gleichung lösen, natürlich. Weißt Du noch, wie es geht? ;-) |
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Mein Taschenrechner kann das noch :-D) Aber wie machen genau dasselbe wie im reellen auch, daher müssten wir doch genau die selben Eigenwerte im komplexen kriegen, wie auch im rellen. Bei A haben wir den Eigenwert 2 Bei haben wir nur den Eigenwert da die quadratische Gleichung keine Lösung besitzt. wo sind jetzt komplexe Eigenwerte hier aufgetaucht? |
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"da die quadratische Gleichung keine Lösung besitzt" Ich hab's geahnt! Du hast doch die Schule geschwänzt. :-) Eine quadratische Gleichung hat im Komplexen IMMER eine Lösung! Aber Taschenrechner hilft dabei vermutlich nicht, dafür brauchst Du schon selber zu rechnen (p-q-Formel). |
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Die Schule habe ich oft geschwänzt, da hast du recht. mathe unterricht aber nie :-D) das eine quadratische gleichung immer Komplexe Lösungen hat, höre ich einfach das erste mal. da kann ich denke ich mal nichts dafür. In der Schule wurde über komplexe Lösungen / komplexe Zahlen nie geredet. Lösung der Gleichung: ich denke mal die Eigenwerte müssten dann so aussehen: jetzt berechne ich zu jedem Eigenwert die Eigenvektoren aus, falls ich in der Summe 3 habe, ist die komplexe Matrix diagonalisierbar. passt es? |
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"jetzt berechne ich zu jedem Eigenwert die Eigenvektoren aus, falls ich in der Summe 3 habe, ist die komplexe Matrix diagonalisierbar." Du musst die Eigenvektoren nicht berechnen. Drei verschiedene Eigenwerte => diagonalisierbar, Punkt. Denn jeder Eigenwert hat mindestens einen Eigenvektor, somit ist die geom. Vielfachheit eines Eigenwerts immer mindestens . Bei verschiedenen Eigenwerten hast Du automatisch die Summe der geom. Vielfachheiten . Und geht nicht. Also ist sie , die Matrix diagonalisierbar. |
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perfekt. vielen vielen dank |
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