Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Diagonalisierbarkeit Drehmatrix

Diagonalisierbarkeit Drehmatrix

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Vektorräume

Tags: Diagonalisierbarkeit, Eigenwert, Vektorraum

Ninad aktiv_icon

16:40 Uhr, 31.01.2016

Hallo zusammen, es geht um folgende Aufgabe:

Für

0 \leq φ < 2 π

ist die Drehmatrix im

ℝ^{2}

entgegen des Uhrzeigersinns gegeben als

R_{φ} = [\begin{matrix} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix}]

(i)

Für welche Winkel

φ

ist

R_{φ}

diagonalisierbar in

ℝ

? Geben Sie eine passende Matrix

D

und

S

an, sodass gilt

R_{φ} = S D S^{- 1}

.

(ii) Für welche

φ

ist

R_{φ}

diagonalisierbar in

ℂ

?

Ich habe rausgefunden, dass die Eigenwerte von

R_{φ}

die folgenden sind:

λ_{1} = cos (φ) + i sin (φ)

und

λ_{2} = cos (φ) - i sin (φ)

.

Was ich zur Diagonalisierbarkeit weiß:
Eine Matrix ist diagonalisierbar

\Leftrightarrow

algVFH(

λ_{i}) =

geoVFH(

λ_{i})

für alle EW. Und dass

D

dann eine Diagonalmatrix ist, mit den EW auf der Diagonalen und die Spalten von

S

die passenden Eigenvektoren.

Meine Idee erst einmal zu

(i) :

diagonalisierbar in

ℝ

heißt ja, dass das

i

bei den EW wegfallen muss, also ist

φ

schon mal ungleich 0 und

π

. Macht das Sinn? Viel weiter komm ich leider gerade nicht.. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

01:29 Uhr, 01.02.2016

Hallo
warum schreibst du :also ist schon mal ungleich 0 und π
du hast doch gerade dass

φ = 0, π

sein muss damit es reell diagonalisierbar ist.
für ii hast du schon die richtigen EW.
Gruß ledum

Ninad aktiv_icon

12:50 Uhr, 01.02.2016

Hallo ledum,

ich meine natürlich gleich 0 und

π,

nicht ungleich... also ich hab mir jetzt folgendes gedacht:

Zu

(i) : sin φ

muss null werden, also

φ = 0

und

π

. Dann erhalten wir die Matrix

[\begin{matrix} cos φ & 0 \\ 0 & cos φ \end{matrix}]

und das ist schon eine Diagonalmatrix, also

D = [\begin{matrix} cos φ & 0 \\ 0 & cos φ \end{matrix}]

und

S = I_{2}

.

Für (ii) habe ich schon die EW, diese sind paarweise verschieden, also ist algVFH

= 1

und die geoVFH ist auch 1 von jedem EW. Daher ist die Matrix für alle

φ \in ℂ

diagonalisierbar.
Stimmt das alles so?

ledum aktiv_icon

01:40 Uhr, 02.02.2016

Hallo
falls du

D

in ii nicht brauchst ist es jetzt richtig
gruß ledum

Ninad aktiv_icon

12:18 Uhr, 02.02.2016

Nein,

D

brauche ich dafür nicht. Vielen Dank :-)

1287809

1287229

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?