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Diagonalisierbarkeit einer Matrix ohne Rechnung?
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Matrizenrechnung
Tags: Diagonalisierbarkeit, Eigenvektor, Eigenwert, Matrizenrechnung
 
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Hallo zusammen, ich habe eine kurze Frage zu einer Aufgabe aus der Uni, mit der ich nicht weiterkomme. Gegeben ist eine Matrix A: Zudem habe ich das charackteristische Polynom: ermittelt. Dem entsprechend sind die Eigenwerte . Der letzte Teil der Aufgabe verlangt nun Folgendes: "...und begründen Sie ohne weitere Rechnung (!) dass A diagonalisierbar ist." Wie man allgemein Diagonalisierbarkeit prüft, ist mir bekannt, aber wie soll ich das denn ohne eine Rechnung machen? Hat jemand von euch eine Idee? Vielen Dank und LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Jeder Eigenwert besitzt mindestens einen Eigenvektor, und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig. Das bedeutet: 1) Eine -Matrix mit wirklich einander verschiedenen Eigenwerten ist IMMER diagonalisierbar! Denn es existiert (s.o.) eine -Basis aus Eigenvektoren. 2) Oder negativ formuliert: Nichtdiagonalisierbarkeit kann allenfalls dann passieren, wenn Eigenwerte der Vielfachheit größer 1 existieren. Die Betonung liegt aber auch hierbei auf "kann", denn das muss dann erst eine genauere Untersuchung ergeben. Im Fall 1) ist diese genauere Untersuchung aber eben nicht nötig. |
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Das klingt sehr gut. :-) Danke und LG |
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