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Diagonalisierbarkeit und charakteristische Polynom
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Tags: Charakteristisches Polynom, Diagonalisierbarkeit, Eigenwert
 
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Hallo liebe Community, vor kurzem hatten wir in der Vorlesung einen Satz, welcher genau wie im Folgenden vorgestellt wurde: Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum und linear. Falls diagonalisierbar ist, so zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren. Dabei habe ich mir gedacht, dass die Aussage ja eigentlich trivial ist, wenn man bedenkt, dass jedes Polynom n-ten Grades über den komplexen Zahlen in Linearfaktoren zerfällt. Ich habe mich zuerst gefragt, warum man so einen Satz dann überhaupt aufschreiben muss. Ich habe dann für mich eine Erklärung gefunden, aber bin mir nicht sicher, ob das nur in meinem Kopf Sinn macht! Und zwar gibt es zu einem Vektorraum ja immer einen Körper sodass auch nur Vektoren mit Einträgen aus auf Vektoren mit Einträgen aus abbildet. Dann würde ich die Aussage "F ist diagonalisierbar" so auffassen, dass es eine Diagonalmatrix mit Einträgen aus dem Körper gibt. Wenn nicht ist, dann dürften die Eigenwerte also nicht aus sein, weil man ja sonst nicht mehr von nach abbildet, da ja nur aus Vektoren mit Einträgen aus besteht. Dann wäre die Aussage aus dem Satz nicht mehr trivial, da nicht jedes Polynom n-ten Grades über in Linearfaktoren zerfällt. Meint ihr die Erklärung macht Sinn so oder habe ich irgendwo einen Denkfehler eingebaut. Oder gibt es noch etwas wichtiges zu Ergänzen, was ich nicht bedacht habe?? Bin sehr dankbar über jegliches Feedback :-) Grüße Heklas |
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Hallo, natürlich hängt die ganze Sache an dem Skalarkörper. Ich nehme mal an, dass der Satz für beliebige Vektorräume über beliebigen Körpern formuliert ist; denn er gilt in dieser Allgemeinheit. Z.B. hat die Matrix das charakteristische Polynom . Über zerfällt dieses nicht in Linearfaktoren, also ist die Matrix über nicht diagonalisierbar. Über findet man aber eine Basis aus Eigenvektoren, so dass sie über diagonalisierbar ist. Gruß ermanus |
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