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Diagonalisierbarkeit von Matrizen

Universität / Fachhochschule

Tags: Diagonalisierbarkeit, diagonalisieren, Diagonalmatrix, Minimalpolynom

lisalus aktiv_icon

16:02 Uhr, 24.03.2019

Aufgabe:
Prüfen Sie mit dem Minimalpolynom, ob die Matrix über

R

(=reelle Zahlen) und/oder über

C

(=komplexe Zahlen) diagonalisierbar ist.

A = (\begin{matrix} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 3 & 0 & - 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \end{matrix})

Meine Idee:
Das charakteristische Polynom ist

(x - i \cdot \sqrt{2}) \cdot (x + i \cdot \sqrt{2}) \cdot (x - i) \cdot (x + i)

also ist es gleich dem Minimalpolynom. Somit kann man prüfen, ob algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit ist.

Falls ja, ist die Matrix diagonalisierbar.

Stimmt meine Idee? Oder geht man bei dieser Aufgabe anders ran? Falls ja wäre ich über eine Schritt-Anleitung dankbar.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

11:18 Uhr, 26.03.2019

Hallo,
Ja, über

ℂ

ist dein Polynom das Minimalpolynom.
Wenn das Minimalpolynom in lauter verschiedene Linearfaktoren
zerfällt, ist die Matrix diagonalisierbar.
Was ist aber im Falle

ℝ

?
Gruß ermanus

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