Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Diagonalisierung

Diagonalisierung

Universität / Fachhochschule

Körper

Eigenwerte

Lineare Unabhängigkeit

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Eigenwert, Körper, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Vektorraum

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

11:29 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Hallo ,

Ich muss zeigen ,dass eine Abbildung L(V,V) für V eine -Vektorraum mit dim(V)=n und {v1,...,v1} Basis von V diagonalisierbar ist , wenn f(vj)=vj+vj+1 gilt .

Ich weiß , dass f diagonalisierbar ist, wenn die Matrixdarstellung von f bzgl. der Basis diagonalisierbar ist . Also falls gilt SAS-1=D , wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und die algebraische Vielfachheit = die geometrische Vielhachheit ist, (wobei A die Matrixdarstellung , D Diagonalmatrix und S eine invertierbare matrix .) Ich wäre sehr dankbar , wenn jemand eine Lösung vollständig gibt , sodass ich ein Beispiel auch für andere Aufgaben habe.
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:17 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Hallo,

wie ist denn f(vn) definiert?

Gruß ermanus
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

14:40 Uhr, 31.05.2020

Antworten
f(vn)=vn
Ich hab es vergessen .
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:46 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Hallo,

vielen Dank für die Info.
Ich glaube nicht, dass die Aufgabe so lautet.
Vielleicht eher so: "untersuchen Sie, ob die Abbildung ...
diagonalisierbar ist".
Ich meine, dass die angegebene Abbildung wohl eher das glatte
Gegenteil von diagonalisierbar ist.
Überprüfe bitte nochmal den Aufgabentext.

Gruß ermanus
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

15:00 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Sorry , du hast Recht .
Die Aufgabe ist :
Welche der folgenden Endomorphismen fL(V,V) diagonalisierbar sind und
welche nicht:
Eine ist :
f(vj)=vj+vj+1 für f(vn)=vn und j=1,...,n-1
Die andere ist :
f(vj)=jvj+vj+1 für f(vn)=nvn und j=1,...,n-1
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:03 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Ah! Das ist natürlich was anderes :-)
Hast du denn mal die Matrix zur ersten Abbildung aufgeschrieben
und deren charakteristisches Polynom bestimmt oder sofort die
Eigenwerte abgelesen?
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

16:17 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Deswegen hab ich nach Hilfe gefragt .
Welche Basis soll ich anwenden , um die Matrixdarstellung von f zu bilden ? Danach kann ich selbst weiter machen.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:22 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Bezüglich der Basis v1,,vn sind die Koordinatenvektoren
der Basis die Standardeinheitsvektoren e1,,en,
also tu so, als wenn die vi die normalen Einheitsvektoren sind.
Oder vielleicht noch klarer z.B.:
f(v1)=v1+v2=1v1+1v2+0v3++0vn,
d.h. in der ersten Spalte der Matrix muss (1,1,0,,0)T stehen.
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

16:46 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Dann sieht die Matrixdarstellung so aus :

[f]B,B=(1000......01100......00110......0...............00..0........11000......11)n,n


Ist das richtig?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:47 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Die vorletzte Zeile stimmt nicht.
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

16:54 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Die letzte 1 soll ein 0 sein , oder ?
(Bei der vorletzten Zeile)
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:55 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Ja, so sehe ich das auch.
Kannst du denn nun die Eigenwerte vielleicht direkt ablesen?
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

17:07 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Ist der Eigenwert immer 1?
(Da das charakteristische Polynom = det(λIn-[f]B,B)=(λ-1)n ist Dann (λ-1)n=0 )
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

17:11 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Und für diese Eigenwerte ( 1 n-mal ) haben wir mindestens n Eigenvektoren .
Die algebraische Vielfachheit ist also =n und die geometrische Vielfachheit =kern(1In-A)=kern(-A)=n . Beide gleich n , dann ist die Abbildung diagonalisierbar .
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:11 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Richtig!
Übrigens kannst du dir überlegen, dass bei einer unteren
oder oberen Dreiecksmatrix die Diagonalelemente gerade die
Eigenwerte sind.
die algebraische Vielfachheit ist also n.
Wie sieht es hier mit der geomatrischen Vielfachheit aus?
Wie groß ist die Dimension des Eigenraumes zu λ=1 ?
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

17:13 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Richtig?

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:14 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Nix versteh ;-)
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

17:17 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Ich hab oben geschrieben :
Dann ist f diagonalisierbar
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:20 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Verstehe nicht, wie du darauf kommst.
Der Eigenraum zu 1 hat doch nur die Dimension 1,
da die Matrix A-1In offenbar den Rang n-1 hat.
Für n>1 ist also die geometrische Vielfachheit kleiner
als die algebraische.
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

17:28 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Stimmt . Ja die letzte Spalte hat nur ein 1 und sonst Nullen , deswegen ist der Rang n-1 , wenn wir die Differenz machen . So bist du zu dem Rang n-1 gekommen , oder ?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:29 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Ja. So habe ich es gemacht.
Frage beantwortet
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

17:30 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Dann gut . Ich hab es verstanden . Danke sehr für die Hilfe . :-):-):-)
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:33 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Bei der zweiten Abbildung kannst du auch sofoert die Eigenwerte
ablesen; denn auch hier hast du eine Dreiecksmatrix.
In diesem Falle sind sie alle verschieden ...
Frage beantwortet
Mathe-Lo

Mathe-Lo aktiv_icon

17:34 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Ja , Danke dir