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Diagonalisierung
Universität / Fachhochschule
Körper
Eigenwerte
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Vektorräume
Tags: Eigenwert, Körper, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Vektorraum
 
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Hallo , Ich muss zeigen ,dass eine Abbildung für eine -Vektorraum mit und Basis von diagonalisierbar ist , wenn gilt . Ich weiß , dass diagonalisierbar ist, wenn die Matrixdarstellung von bzgl. der Basis diagonalisierbar ist . Also falls gilt , wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und die algebraische Vielfachheit = die geometrische Vielhachheit ist, (wobei die Matrixdarstellung , Diagonalmatrix und eine invertierbare matrix .) Ich wäre sehr dankbar , wenn jemand eine Lösung vollständig gibt , sodass ich ein Beispiel auch für andere Aufgaben habe. |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, wie ist denn definiert? Gruß ermanus |
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Ich hab es vergessen . |
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Hallo, vielen Dank für die Info. Ich glaube nicht, dass die Aufgabe so lautet. Vielleicht eher so: "untersuchen Sie, ob die Abbildung ... diagonalisierbar ist". Ich meine, dass die angegebene Abbildung wohl eher das glatte Gegenteil von diagonalisierbar ist. Überprüfe bitte nochmal den Aufgabentext. Gruß ermanus |
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Sorry , du hast Recht . Die Aufgabe ist : Welche der folgenden Endomorphismen diagonalisierbar sind und welche nicht: Eine ist : für und Die andere ist : für und |
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Ah! Das ist natürlich was anderes :-) Hast du denn mal die Matrix zur ersten Abbildung aufgeschrieben und deren charakteristisches Polynom bestimmt oder sofort die Eigenwerte abgelesen? |
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Deswegen hab ich nach Hilfe gefragt . Welche Basis soll ich anwenden , um die Matrixdarstellung von f zu bilden ? Danach kann ich selbst weiter machen. |
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Bezüglich der Basis sind die Koordinatenvektoren der Basis die Standardeinheitsvektoren , also tu so, als wenn die die normalen Einheitsvektoren sind. Oder vielleicht noch klarer z.B.: , d.h. in der ersten Spalte der Matrix muss stehen. |
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Dann sieht die Matrixdarstellung so aus : Ist das richtig? |
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Die vorletzte Zeile stimmt nicht. |
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Die letzte 1 soll ein 0 sein , oder ? (Bei der vorletzten Zeile) |
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Ja, so sehe ich das auch. Kannst du denn nun die Eigenwerte vielleicht direkt ablesen? |
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Ist der Eigenwert immer 1? (Da das charakteristische Polynom = ist Dann ) |
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Und für diese Eigenwerte ( 1 n-mal ) haben wir mindestens n Eigenvektoren . Die algebraische Vielfachheit ist also und die geometrische Vielfachheit . Beide gleich , dann ist die Abbildung diagonalisierbar . |
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Richtig! Übrigens kannst du dir überlegen, dass bei einer unteren oder oberen Dreiecksmatrix die Diagonalelemente gerade die Eigenwerte sind. die algebraische Vielfachheit ist also . Wie sieht es hier mit der geomatrischen Vielfachheit aus? Wie groß ist die Dimension des Eigenraumes zu ? |
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Richtig? |
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Nix versteh ;-) |
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Ich hab oben geschrieben : Dann ist f diagonalisierbar |
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Verstehe nicht, wie du darauf kommst. Der Eigenraum zu hat doch nur die Dimension 1, da die Matrix offenbar den Rang hat. Für ist also die geometrische Vielfachheit kleiner als die algebraische. |
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Stimmt . Ja die letzte Spalte hat nur ein 1 und sonst Nullen , deswegen ist der Rang n-1 , wenn wir die Differenz machen . So bist du zu dem Rang n-1 gekommen , oder ? |
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Ja. So habe ich es gemacht. |
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Dann gut . Ich hab es verstanden . Danke sehr für die Hilfe . :-):-):-) |
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Bei der zweiten Abbildung kannst du auch sofoert die Eigenwerte ablesen; denn auch hier hast du eine Dreiecksmatrix. In diesem Falle sind sie alle verschieden ... |
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Ja , Danke dir |
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