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Diagonalisierung & Hauptachsentransformation?
Universität / Fachhochschule
Tags: Diagonalisierung
 
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Hallo, ich verstehe den Unterschied zwischen Diagonalisierung einer Matrix und der Hauptachsentransformation nicht. Man möchte doch bei der Diagonalisierung und bei der Hauptachsentransformation eine Matrix in der Form darstellen wobei eine Diagonalmatrix und eine Orthogonalmatrix ist wobei die Spalten die Eigenvektoren der Matrix sind. Wir haben die Aufgabe: Man stelle die Matrix in der Form mit einer orthogonalen Matrix B und einer Diagonalmatrix dar (Hauptachsentransformation) Nun habe ich etwas nachgelesen und in diversen Büchern gefunden das bei der Hauptachsentransformation die Eigenvektoren mit Gram Schmidt Orthonormalisiert werden um eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu erhalten. Hier steht allerdings Ortohogonalmatrix. Demnach müsste es sich doch um diagonalisieren und nicht um eine Hauptachsentransformation handeln obwohl es so in der Aufgabe steht? Danke schonmal! :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Das Ganze ist eine Hauptachsentransformation. die sind orthogonal Gruß ledum |
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Hallo ledum, ich habe mir über die Nacht weitere Gedanken dazu gemacht und festgestellt das die Eigenvektoren linear unabhängig sind (Da sie die Eigenbasis bilden) aber nicht orthogonal bzw. orthonormal sind. Meine Idee war nun folgende Anleitung: 1) Bestimmung der Eigenwerte 2) Bestimmung der Eigenvektoren 3) Eigenvektoren orthogonalisieren bzw. orthonormalisieren mittels Gram Schmidt 4) Aufstellen von wobei die Orthonormalmatrix ist wobei die Spaltenvektoren die orthonormalen Vektoren der Eigenbasis sind. Stimmt das Vorgehen so? Danke soweit! :-) |
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Ich habe mich nun an die Aufgabe gemacht. Die Matrix lautet: 2 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 4 \\ -2 & 4 & -1 \end{eqnarray}\right) Nun stelle ich mir die erste Frage, muss ich die zuerst in die Matrix hinenmultiplizieren um die Eigenwerte zu bestimmen oder kann ich die stehen lassen? Wenn ich die Eigenwerte einmal mit einem Rechner bestimme erhalte ich und wenn ich die nicht hineinmultipliziere erhalte ich also ein Vielfaches von . Macht das einen Unterschied aus? Danke schonmal! |
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Hallo du musst den Vorfaktor nicht reinmultiplizieren ihn nur immer beibehalten, die vorgehen sind also gleich. Gruß ledum |
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Wenn ich die Determinante ohne die in die Matrix hinenzumultiplizieren erhalte ich das charakteristische Polynom Demnach sind die Eigenwerte , Wenn ich die hineinmultipliziere erhalte ich die Eigenwerte also unterscheiden sie sich um ein Vielfaches von was wohl dadurch zustande kommt das die aus der Matrix gezogen wurden. Wann muss ich die denn wieder verarbeiten? Ich habe ja quasi Wenn ich nun durch dividiere bringt mich das auch auch nicht auf die gewünschten Eigenwerte ... Danke schonmal! |
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Ich habe jetzt mal weiter gerechnet und erhalte die Eigenvektoren: Nun habe ich auf die Basis Gram Schmidt losgelassen. Ich erhalte damit die Orthonormalvektoren (Wenn ich mich nicht verrechnet habe): Nun muss ich die Basis nur noch genau wie beim diagonalisieren als Spaltenvektoren schreiben. Dann gilt wobei die Orthonormale Matrix ist und besitzt die Eigenwerte der Matrix auf der Hauptdiagonalen. ist die inverse von . Wenn ich das alles einsetze erhalte ich allerdings nicht . Das muss an dem liegen. Was soll ich denn nun anstellen? :( |
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