Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Diagonalisierung mit transponierter Matrix

Diagonalisierung mit transponierter Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: diagonalisieren, Matrizenrechnung

Baumstamm aktiv_icon

09:32 Uhr, 14.04.2020

Hallo zusammen

Ich soll

S \in G L_{3} (ℂ)

finden, so dass

S^{T} B \bar{S}

diagonal ist mit

B = (\begin{matrix} 1 & 3 & - 3 i \\ 3 & 8 & - 8 i \\ 3 i & 8 i & 7 \end{matrix})

Das könnte man jetzt mit Eigenvektoren etc. machen, jedoch hatten wir in der Vorlesung ein Verfahren (eigentlich hatten wir das nur auf

ℝ

eingeführt, jedoch steht im Hinweis, man solle eben dieses Verfahren verwenden). Wir haben dieses Verfahren "symmetrische Umformungsmethode" genannt, die Idee ist, dass man

B | E

hinschreibt mit

E

der Einheitsmatrix und dann auf

B

und

E

jeweils identische Spaltenumformungen anwendent, auf

B

jeweils auch noch die entsprechende Zeilenumformung. Dies so lange bis

B

eine Diagonalmatrix ist, dann steht bei

E

das, was oben als

S^{T}

bezeichnet wurde.

Mein Problem ist nun, dass wir dieses Verfahren eigentlich nur für

ℝ

definiert haben und auf

ℂ

muss man meiner Erfahrung nach meist noch irgend etwas komplex konjugieren oder so ähnlich. Daher wollte ich einmal nachfragen, ob jemand dieses Verfahren kennt und mir vielleicht einen Tipp geben könnte, wie man das auf obige Matrix anwenden soll, denn so wie wir das Verfahren in der Vorlesung hatten, funktioniert es bei mir nicht.

Gruss Baumstamm

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

ermanus aktiv_icon

09:57 Uhr, 14.04.2020

Hallo,

mit

S_{1} = d i a g (1, 1, i)

bekommst du mit

B_{1} := S_{1}^{T} B \overline{S_{1}}

eine reelle symmetrische Matrix, die du wie
bisher im Reellen weiter bearbeiten kannst.

Gruß ermanus

Baumstamm aktiv_icon

11:34 Uhr, 14.04.2020

Hallo ermanus

Erst einmal vielen Dank für deinen Tipp, so habe ich die Aufgabe hinbekommen. Eine Frage hätte ich noch: Rückblickend erscheint mir deine Wahl von

S_{1}

einigermassen logisch bzw. offensichtlich. Wenn ich nun aber das

S_{1}

nicht direkt sehe, gibt es einen allgemeinen Trick bzw. Verfahren, mit dem man dieses

S_{1}

bestimmen kann?

Gruss Baumstamm

ermanus aktiv_icon

11:40 Uhr, 14.04.2020

Also, das war bei dieser Aufgabe ein Glücksfall, da die 3-te Zeile
und 3-te Spalte bis auf das Diagonalelement rein imaginär sind.
Im Allgemeinen funktioniert es bei hermiteschen Matrizen genauso
wie im reellen Falle, nur dass die
"synchrone" Spaltenoperation mit dem Konjugiertkomplexen der
transponierten Zeilenoperation vorgenommen wird.

Gruß ermanus

Baumstamm aktiv_icon

18:07 Uhr, 14.04.2020

Hallo ermanus

Ich habe das jetzt noch einmal so probiert wie es allgemein funktionieren sollte, ohne dass man das

S_{1}

direkt sieht und leider klemmt da noch etwas

Ich starte also mit

B | E,

also

(\begin{matrix} 1 & 3 & - 3 i & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 8 & - 8 i & 0 & 1 & 0 \\ 3 i & 8 i & 7 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

und addiere zuerst das i-fache der 2. Spalte zur 3. Spalte, sowohl auf der linken wie auch auf der rechten Seite und erhalte

(\begin{matrix} 1 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 8 & 0 & 0 & 1 & i \\ 3 i & 8 i & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Danach kommt die synchrone Zeilenoperation, jedoch komplex konjugiert, also addiere ich das

- i

-fache der 2. Zeile zur 3. Zeile, jedoch nur auf der linken Hälfte.

(\begin{matrix} 1 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 8 & 0 & 0 & 1 & i \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Nun addiere ich das

- \frac{3}{8}

-fache der 2. Spalte zur 1. Spalte auf beiden Seiten und erhalte

(\begin{matrix} - \frac{1}{8} & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & - \frac{3}{8} & 1 & i \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Dann die synchrone Zeilenoperation, wobei hier die komplexe Konjugation nichts bewirkt. Damit erhalte ich

(\begin{matrix} - \frac{1}{8} & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & - \frac{3}{8} & 1 & i \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Nun sollte auf der rechten Seite eine Matrix

S

stehen, für die gilt:

S^{T} B \bar{S}

diagonal
Jedoch meint mein CAS, dass die resultierende Matrix

(\begin{matrix} - \frac{1}{8} & 0 & 0 \\ 0 & 8 & - 16 i \\ 0 & 16 i & 31 \end{matrix})

ist. Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du mir verraten könntest, wo mein Fehler liegt. Tut mir leid dass das so lang geworden ist, aber es nervt mich einfach, wenn ich am Ende an (vermutlich) Flüchtigkeitsfehlern scheitere.

Gruss Baumstamm

ermanus aktiv_icon

18:29 Uhr, 14.04.2020

Ich glaube, dein

S^{T}

ist falsch.
Ich habe

S^{T} = (\begin{array}{ccc} 1 & - 3 / 8 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - i & 1 \end{array})

,

und damit ist alles OK.

Baumstamm aktiv_icon

08:56 Uhr, 15.04.2020

Jetzt hat alles geklappt. Vielen herzlichen Dank für deine Hilfe
Gruss Baumstamm

1499217

1499154

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?