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Diagonalmatrix bestimmen

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Diagonalmatrix, Eigenwert

Crunkrock aktiv_icon

19:55 Uhr, 05.02.2010

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Matrix

A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{matrix})

eine Matrix

S

und eine Diagonalmatrix

D

mit

D =

S^(−1)AS

Zunächst muss ich die Eigenwerte bestimmen. Also erstmal

A - λ E = (\begin{matrix} 1 - λ & 1 & 1 \\ 2 & 2 - λ & 2 \\ 3 & 3 & 3 - λ \end{matrix})

Mit Sarrus folgt daraus

det (A) = (1 - λ) (2 - λ) (3 - λ) + 5 + 5 - 3 (2 - λ) - 5 (1 - λ) - 2 (3 - λ)

nach ein paar Schritten ist man bei

- λ^{3} - 6 λ^{2} - 21 λ - 1

Soweit korrekt?
Ich weiß, dass ich das jetzt in eine Form bringen muss, um die Nullstellen ablesen zu können, aber da komm ich nicht weiter. Irgendwie

- λ

ausklammern oder so?

EDIT: Irgendwie klappt dass mit der Darstellung von Potenz und Matrix noch nicht so...habs aber so gemacht wie hier angegeben: www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

20:12 Uhr, 05.02.2010

Hallo Yanick,

du hast das charakteristische Polynom nicht richtig berechnet. Immerhin hat die Matrix nur Rang 1 (sieht man doch, oder?), d.h. sie muss zweimal den EW 0 haben. Davon ist aber an deinem Polynom nichts zu sehen.
Man kann den Fehler auch leicht genauer benennen: Berechnung dreidimensionaler Determinanten, Regel von Sarrus: die beiden 5en müssten 6en sein, da

1 \cdot 2 \cdot 3 = 6

Hoffe, das hilft erst einmal weiter.

Mfg Michael

Crunkrock aktiv_icon

20:54 Uhr, 05.02.2010

Oh man. Da war er wieder, der Flüchtigkeitsfehlerteufel.

Ich erhalte mit Sarrus also

-λ3-6λ2-22λ

Dann klammere ich -λ aus:

-λ(λ2+6λ+22)

λ=0 ist also eine Lösung.

Dann kann ich die pq-Formel anwenden:

-3±9-22

Irgendwie werden bei mir Befehle wie "^" oder "sqrt" einfach ignoriert. Naja, ich denke ihr wisst was gemeint ist.

Ich muss jedenfalls die Wurzel aus

- 13

ziehen, was nicht geht. Also ist λ=0 die einzige Lösung.

Jetzt muss ich irgendwie die Eigenräume berechnen. Ist es richtig, jetzt das LGS

(A - λ E) x = 0

zu lösen?
Dann ergäbe sich

1 a + 1 b + 1 c = 0

0 a + 0 b + 0 c = 0

0 a + 0 b + 0 c = 0

Was unendlich viele Lösungen besitzt...?

Wie gehts jetzt weiter?

michaL aktiv_icon

22:13 Uhr, 05.02.2010

Hallo Yanick,

immer noch falsch. Ich schrieb doch, dass die Matrix den Eigenwert 0 zweimal hat, d.h. das charakteristische Polynom ist von der Form

x^{2} (x - a)

.

Viel Spaß beim Nochmalrechnen.

Mfg Michael

Crunkrock aktiv_icon

22:40 Uhr, 05.02.2010

Ja. Du hast recht. Ärgerlich.

Jetzt hab ich

(1 - λ) (2 - λ) (3 - λ) + 6 + 6 - 6 + 3 λ - 6 + 6 λ - 6 + 2 λ

= - λ^{3} - 6 λ^{2}

= λ^{2} (λ - 6)

\Rightarrow

λ 1 = 0

λ 2 = 0

λ 3 = 6

Jetzt muss ich die Eigenvektoren ausrechnen um den Eigenraum zu bestimmen.
Ich löse die LGS

(A - 0 E) x = 0

und

(A - 6 E) x = 0

Nach umformen hab ich die Matrizen

für

λ 1

und

λ 2 :

111 = 0

000 = 0

000 = 0

für

λ 3 :

200 = 0

060 = 0

004 = 0

Das Ergibt für den Eigenwert

λ 1

den Vektor

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}),

genauso für die Eigenwerte

λ 2

und

λ 3

.

Das würde bedeuten das kein Raum existiert. Leider vermute ich deshalb, dass ich mich mal wieder irgendwo verrechnet habe...

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