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Diagonalmatrizen- ähnlich
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 12:39 Uhr, 05.06.2006  |
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hi kann mir jemand dabei helfen, zu beweisen, dass zwei Diagonalmatrizen genau dann ähnlich sind, wenn ihre Diagonaleinträge bis auf die Reihenfolge gleich sind Danke schonmal |
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anonymous 11:43 Uhr, 06.06.2006 |
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Hallo Maike, zwei Matrizen sind ähnlich genau dann, wenn sie bezüglich geeigneter Basen denselben Endomorphismus des K^n darstellen. Daraus ergibt sich leicht die eine Richtung ("wenn die Diagonaleinträge bis auf Reihenfolge übereinstimmen..."). Für die andere Richtung denk mal daran, daß ähnliche Matrizen dasselbe charakteristische Polynom haben; und das char. Polynom einer Diagonalmatrix ist ja schnell ausgerechnet. (Denk außerdem daran, daß es im Polynomring K[X] eine eindeutige Primfaktorzerlegung wie in Z gibt, und daß Linearfaktoren Primelemente sind!). Vielleicht reichen Dir diese Hinweise schon, sonst frag einfach nochmal nach! Gruß, Uli |
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hi, danke einen Beitrag. Was du meinst, kann ich teilweise nachvollziehen, allerdings gelingt es mir nicht, dass praktisch auf diese Aufgabe anzuwenden. Wäre toll, wenn du mir dazu vielleicht noch einen Tipp geben könntest Grüße, Maike |
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anonymous 14:23 Uhr, 07.06.2006 |
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Hallo Maike, eine Diagonalmatrix stellt einen Endomorphismus f dar bezüglich einer Basis {b_1,... b_n} des K^n, die nur aus Eigenvektoren von f besteht (so was gibts natürlich nicht immer!), und in der Diagonale stehen die zugehörigen Eigenwerte x_1, ... x_n. Wenn Du jetzt zu einer neuen Basis übergehst, die dieselben Vektoren b_i nur in anderer Reihenfolge enthält, bedeutet das für die Matrix, daß die Diagonaleinträge x_i entsprechend ihre Plätze verändern. Die Umkehrung geht etwa so: Seien D und D' ähnliche Diagonalmatrizen mit den Diagonaleinträgen x_1... x_n bzw. y_1 ... y_n, dann müssen sie insbesondere dasselbe char. Polynom haben (ähnliche Matrizen haben immer dasselbe char. Polynom, aber die Umkehrung dieser Aussage ist falsch!). Das char. Polynom von D ist (T - x_1)(T - x_2)...(T - x_n), das von D' entsprechend (T - y_1)(T - y_2)...(T - y_n). Die beiden Polynome müssen gleich sein, und das geht wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung im Ring K[T] nur, wenn die Faktoren bis auf die Reihenfolge dieselben sind. Das heißt aber nichts anderes, als daß die x_i und y_i bis auf Reihenfolge dieselben Zahlen sind. Alles klar? Gruß, Uli |
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| Alles klar! danke, jetzt kann ich das auch gut nachvollziehen |
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