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Dichte- und Verteilungsfunktion von Zufallsvariabl

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, test, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

lolabecker aktiv_icon

03:38 Uhr, 10.07.2020

Es sei

X \sim U n i ([- 1, 1])

uniform verteilt auf

[- 1, 1] .

Bestimmen Sie die Dichte- und Verteilungsfunktion der folgenden Zufallsvariablen:
(1)

Y := ∣ X ∣

(2) Z := (X + 1) / 2

Ich denke hier muss man den Wertebereich von ¨ Y gilt, da X ∈ (0, 1), dass Y ∈ (0, ∞) bestimmen; Des Weiteren ist die Transformation bijektiv. Damit erhält man bereits für die Dichte ¨ gY (y) = 0 fur ¨ y ≤ 0. Weiter fehlt mir der Anschluss, wie jemand wie man das fortführt

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pivot aktiv_icon

05:58 Uhr, 10.07.2020

Hallo,

wenn man Y=|X| nach

X

auflöst erhält man

X = \mp Y

. Nun Fallunterscheidung durchführen:

Fall 1:

- 1 < x < 0

f_{Y} (y) = ∣ \frac{d g^{- 1} (y)}{d y} ∣ \cdot f_{X} (g^{- 1} (y)) = ∣ - 1 ∣ \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Fall 2:

0 < x < 1

f_{Y} (y) = ∣ \frac{d g^{- 1} (y)}{d y} ∣ \cdot f_{X} (g^{- 1} (y)) = ∣ 1 ∣ \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Die Summe der beiden Fälle ist die Dichtefunktion für

0 < y < 1

.
Gruß
pivot

HAL9000

10:19 Uhr, 10.07.2020

Da der Transformationssatz bei (1) wegen fehlender Injektivität nicht direkt anwendbar ist (pivot hat deshalb ja diese Fallunterscheidung durchgeführt), kann man sich auch alternativ über die Verteilungsfunktion

F_{Y}

der Sache nähern:

(a)

F_{Y} (t) = P (∣ X ∣ \leq t) = 0

für alle

t < 0

schlicht weil der Betrag

∣ X ∣

nichtnegativ ist.

(b)

F_{Y} (t) = P (∣ X ∣ \leq t) = P (- t \leq X \leq t) = \frac{t - (- t)}{2} = t

für alle

0 \leq t \leq 1

.

(c)

F_{Y} (t) = P (∣ X ∣ \leq t) = P (∣ X ∣ \leq 1) = 1

für alle

t > 1

.

Und das ist die Verteilungsfunktion der stetigen Gleichverteilung auf

[0, 1]

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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