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Dichtefunktion bestimmen
Universität / Fachhochschule
Verteilungsfunktionen
Zufallsvariablen
Tags: Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen
 
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Es wird auf eine unendlich hohe Wand geschossen, wobei sich ein Ziel in der Mitte der Wand befindet. Dabei schiessen die Schützen gleichverteilt auf jeden Punkt der Wand (von minus unendlich bis unendlich). Nun definiert man die Zufallsvariable X, als den Abstand zwischen dem Ziel und dem Punkt, wo die Kugel in die Wand eintrifft. (Mit Abstand meint man dabei bloss die Höhendifferenz, man geht davon aus, dass die Schüsse also nicht links oder rechts sondern nur oberhalb oder unterhalb des Ziels eintreffen können). Nun soll ich die Verteilung von X berechnen. Ich nehme jetzt mal an, dass unter "Verteilung", die Verteilungsfunktion gemeint ist. Da das ganze stetig verteilt ist, ist also die Verteilungsfunktion . Aber wie finde ich ? Die Dichtefunktion muss ja konstant sein, da jeder Punkt auf der Geraden gleich wahrscheinlich getroffen wird. Zudem soll ja das Integral von minus unendlich bis unendlich integriert 1 ergeben. Wie sind diese beiden Bedinungen denn überhaupt zu vereinbaren? Dann müsste ja ergeben, wobei k eine Konstante ist?! Aber solch eine Konstante gibt es nunmal nicht. Ich bin etwas verwirrt und wäre froh um eure Hilfe. Vielen Dank schon im Voraus! :-) |
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Hallo Didgeridoo, Deine (vollkommen richtigen) Überlegungen führen wohl zu dem Schluss, dass es eine Gleichverteilung auf einem unendlichen Intervall gar nicht gibt! Steht das wiklich genau so in der Aufgabe? Gleichverteilt von minus unendlich bis unendlich? Das wäre auch nicht realistisch. Man würde eher eine Normalverteilung erwarten, wenn man auf ein Ziel schiesst. Noch eine Überlegung zum Schluss: Wenn es eine Gleichverteilung von minus unendlich bis unendlich gäbe, dann wäre der Abstand ebenfalls gleichverteilt, aber von Null bis unendlich, mit der "doppelten" Wahrscheinlichkeit. Gruß, Matlog |
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Die exakte Aufgabenstellung lautet: Ein Schütze steht 1m vor einer Wand. Das Ziel befindet sich genau gegenüber von ihm. Er verfehlt es aber häufig. Er schiesst nämlich mit einem Winkel , der gleichmässig verteilt auf ist, ab. Sei die Zufalsvariable X definiert als der Abstand zwischen dem Ziel und dem Punkt, an welchem die Kugel in die Wand einschlägt. Berechnen Sie die Verteilung von X. Aber läuft das nicht auf das selbe hinaus? Wahrscheinlich sollte man das wohl gar nicht mit einer Dichtefunktion versuchen zu berechnen, sondern direkt die Verteilungsfunktion versuchen aufzustellen. Nur, wie stelle ich die Verteilungsfunktion auf? Wir sollen ja berechnen. Gut, was wir wissen, ist dass in diesem Fall liegen muss. Was bringt mir das konkret? Vielen Dank schon im Voraus. |
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Oder wäre dann die Verteilungsfunktion ? |
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Gleichverteilter Winkel in einem kompakten Intervall ist aber wirklich etwas völlig anderes als "gleichverteilt" in In der Tat ist |
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Ah, super! Danke! :-) |
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Ich dachte eigentlich bloss, dass der gleichverteilte Winkel der Gleichverteilung auf der Wand entspricht, weil man ja eigentlich eine bijektive Abbildung konstruieren kann, die jedem Winkel einen Punkt auf der Wand zuordnet, also sollte es doch auch auf der Wand gleichverteilt sein...?! |
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Gleichverteilung heißt, dass für ein Intervall nur vom Inhalt von abhängt. Bijektion heißt nicht Gleichverteilungserhaltend. Sei eine beliebige Verteilungsfunktion (nicht allzu unstetig). Und sei auf gleichverteilt. Dann ist eine gemäß verteilte Zufallsvariable (auch wenn zumindest auf bijektiv ist) |
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Ja, da gibt´s eine bijektive Abbildung, aber das heißt ja nichts. Wenn die Mauer halbkreisförmig stände, dann wäre das dort auch gleichverteilt. Aber die Abstände zu den Punkten der (geraden) Mauer sind ja unterschiedlich. Zwei Schüsse im Abstand von 1 Grad liegen in der Mitte viel näher zusammen als weit außen. Die Verteilungsfunktion habt Ihr ja bereits gefunden! |
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