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Dichteste Packungen von gleichen Kreisen in einem

Universität / Fachhochschule

Tags: Anwendungsaufgabe, Bachelorarbeit, Knobelaufgabe

anonymous

19:24 Uhr, 17.02.2018

Bei meiner Bachelorarbeit ist leider folgendes Problem aufgetaucht:

Zur weiteren Berechnung benötige ich eine Formel mit der ich die maximale Packunsdichte von gleich großen Kreisen auf einem Quadrat berechnen kann. Dabei sollen die Kreise nicht überlappen..
Eine Annaehrung würde mir reichen. Leider habe ich bis jetzt keinen plausiblen Ansatz gefunden.

Hierbei besitzt das Quadrat eine Kantenlaenge von

1250

mm

Die Kreise sind variabel und besitzen einen Durchmesser von

136

mm bis

1150

mm.

Auf dem Quadrat sollen nur gleich grosse Kreise angeordnet werden.

Kommt Ihr auf eine Lösung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Mathe45

19:39 Uhr, 17.02.2018

Dazu gibt es eine Arbeit von Ronald Peikert ( und sicherlich von anderen auch noch ).

www.google.at/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiD6I76yq3ZAhXPCewKHadbAiYQFgguMAA&url=https%3A%2F%2Fwww.researchgate.net%2Fprofile%2FRonald_Peikert%2Fpublication%2F228326610_Dichteste_Packungen_von_gleichen_Kreisen_in_einem_Quadrat%2Flinks%2F09e414ff6b1b2d35a7000000%2FDichteste-Packungen-von-gleichen-Kreisen-in-einem-Quadrat.pdf&usg=AOvVaw1wgMYLt6iLQYOq7dx1j950

( Link vermutlich mit copy and past )

anonymous

19:50 Uhr, 17.02.2018

Vielen Dank für den Link! Gibt es keine "einfache" Formel mit der ich dieses Problem berechnen kann? Bei dieser Formel müsste es möglich sein, diese in Excel zu formatieren. Da ich in Excel meine Daten habe.

anonymous

00:47 Uhr, 18.02.2018

Hallo
Ich habe jetzt mal den Dingen allgemein-gültige Bezeichner gegeben.
Sei "a" die Länge der Quadratseite.
Sei "d" der Durchmesser der Kreise.

Für kleine Anzahlen an Kreisen kann man sich ja noch leicht skizzieren und ausrechnen:

1 .)

Für

\frac{d}{a} < 1

kann man einen Kreis im Quadrat unterbringen.

2 .)

Für

\frac{d}{a} < \frac{2}{2 + \sqrt{2}} = 0.585786

kann man zwei Kreise im Quadrat unterbringen.

3 .)

Für

\frac{d}{a} < \frac{2}{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = 0.508666

kann man drei Kreise im Quadrat unterbringen.

4 .)

Für

\frac{d}{a} < \frac{1}{2}

kann man vier Kreise

(2

mal

2)

im Quadrat unterbringen.

5 .)

Für

\frac{d}{a} < \frac{1}{1 + \sqrt{2}} = 0.41421

kann man fünf Kreise im Quadrat unterbringen.

6 .)

Für

\frac{d}{a} < 0.37536120

kann man sechs Kreise im Quadrat unterbringen.

9 .)

Für

\frac{d}{a} < \frac{1}{3}

kann man neun Kreise

(3

mal

3)

im Quadrat unterbringen.

16 .)

Für

\frac{d}{a} < \frac{1}{4}

kann man sechzehn Kreise

(4

mal

4)

im Quadrat unterbringen.

Die maximale Packungsdichte für sehr kleine Kreise ist naturgemäß ein Wabennetz, in dem die Mittelpunkte einander benachbarter Kreise stets gleichseitige Dreiecke bilden.
Für diese ideale Packungsdichte kann man den "Grenzwert" bilden:

lim_{n \to \infty} \frac{d}{a} = \sqrt{\frac{2}{\sqrt{3} \cdot n}}

wobei "n" die Anzahl der Kreise ist.

D . h

. für große Werte

n

bzw. für kleine Kreise im Verhältnis zur Quadrat-Seitenlänge wird sich das Verhältnis

\frac{d}{a}

immer weiter diesem Grenzwert nähern.

Du sagst: "Eine Annaehrung würde mir reichen."
Je nach dem, wie ernst es dir mit dieser Aussage ist, sollten diese Tipps evtl. bereits reichen, deine Annäherung zu formulieren.

portgas-d-awan aktiv_icon

15:14 Uhr, 10.06.2023

Hallo,

wäre es möglich einen Link zu deiner Bachelorthesis zu diesem Thema zu teilen? Bin auch gerade dabei eine ähnliche Aufgabenstellung zu bearbeiten. Wäre echt hilfreich :-)

portgas-d-awan aktiv_icon

15:14 Uhr, 10.06.2023

Hallo,

wäre es möglich einen Link zu deiner Bachelorthesis zu diesem Thema zu teilen? Bin auch gerade dabei eine ähnliche Aufgabenstellung zu bearbeiten. Wäre echt hilfreich :-)

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