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Dichtheit der rationalen Zahlen in R

Universität / Fachhochschule

Tags: Rationale Zahlen

 
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harold

harold aktiv_icon

11:11 Uhr, 25.04.2010

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Hallo Forum,
folgende Aufgabe erweist sich für mich als schwierig.

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Zeigen Sie: Zwischen je zwei (verschiedenen) reellen Zahlen liegt eine rationale Zahl. Mit
anderen Worten: Zu je zwei a;b∈ℝ mit a<b gibt es ein r∈Q mit a<r<b.

Hinweis: Im Fall 0<a<b konnen Sie das gesuchte r in der Form mn
wobei n eine naturliche Zahl mit 1n<b-a und m eine naturliche Zahl mit mn>a ist,
konstruieren.
Veranschaulichen Sie sich die Beweisidee an einer Skizze!

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Vermutlich macht man dies per Fallunterscheidung?

Fall 1:a<0<b: Wähle r=0
Fall 2:0<a<b nagut hier kann ich mit dem hinweis nicht soviel anfangen.

liebe grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

11:58 Uhr, 25.04.2010

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Kommt ein wenig darauf an, welche Eigenschaften von ℝ benutzt werden dürfen.
Sehr einfach ginge es mit der archimedischen Eigenschaft der Ordnung:
(1)  ∀r∈ℝ:∃n∈ℕ:r<n

Es ist 1b-a∈ℝ, also gibt es wegen (1) ein n∈ℕ mit n>1b-a.
Wegen b-a>0 folgt n⋅(b-a)>1.
Wieder wegen (1) gibt es ein m∈ℕ mit m>1-a, also mit a+m>1.
Noch einmal wegen (1) gibt es natürliche Zahlen >n⋅(a+m), sei k die kleinste dieser Zahlen.
Es ist also k>n⋅(a+m)>n≥1, also k≥2, somit gewiss k-1≤n⋅(a+m) wegen der Minimalität von k.
Für die rationale Zahl q:=kn-m gilt somit schon einmal a<q.
Gilt auch q<b?
Wäre q≥b, so hätten wir
kn-m≥b
⇒k≥n⋅(b+m)=n⋅(a+m)+n⋅(b-a)>n⋅(a+m)+1
somit k-1>n⋅(a+m). Da wegen k≥2 auch k-1∈ℕ steht dies im Widerspruch zur Minimalität von k.
Somit muss also doch q<b gelten.
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