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Die Formel von Binet
Schüler Fachoberschulen,
Tags: Binet, Differenzengleichung, Fibonacci Folge, seminararbeit
 
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Hallo Liebe Mathe Community, :-) Ich schreibe momentan meine Seminararbeit in Mathe zum Thema Fibonacci - Folge. In diesem Umfang soll ich die Herleitung der Formel von Binet aufzeigen, und zwar mit Hilfe einer Differenzengleichung. (also keine Induktion etc. was ich schon alles gelesen habe) Ich komme ab einem bestimmten Punkt aber leider nicht weiter. Was ich bisher habe: Es gilt die Rekursionsgleichung: (Das sollte im Index stehen) mit der Umformung ausklammern und umstellen, kommt man auf die Gleichung : Nach dem auflösen komme ich auf die beiden Nullstellen und (Leider weis ich nicht wie man eine Wurzel oder Formelzeichen schreibt) Ab hier wird es für mich schon schwierig. Die Folgen und erfüllen ebenfalls die Rekursion. Das muss aber noch bewiesen werden. Mit dem Ansatz: komme ich auf wegen und auf Aber was hilft mir das weiter wenn ich auf kommen sollte um zu beweisen das die Folgen auch die Rekursion erfüllen? Das selbe gilt natürlich auch für . Bitte helft mir in der Sache weiter ich glaube momentan bin ich an einem Punkt wo ich mich nur noch selbst verwirre. Da das ganze ja dann noch nicht gelöst ist muss noch α(a(n))+β(a(n)) die Rekursion erfüllen. Setzt man dazu die beiden Anfangswerte 0 und 1 ein? Benutze ich dafür dann ein Gleichungssysthem? Ich wäre euch wahnsinnig dankbar über eine schnelle Antwort. Bitte beachtet dabei dass ich auf Schul-Mathematik Niveau bin. Habe schon viele seeeehhhr komplizierte Erklärungen gelesen die mir aber alle nicht weiter geholfen haben. Ganz Ganz großes Dankeschön schonmal im Vorraus wenn mir jemand helfen kann ;-) PS: Falls in meinen Berechnungen bis jetzt Fehler sind bin ich natürlich offen und dankbar für eine Korrektur. Und Sorry dass das ganze hier voll der Roman geworden ist. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Mitternachtsformel |
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Hallo, Durch das Lösen der Gleichung mit den Lösungen und hast Du ja schon bewiesen, dass und die Rekursion erfüllen. Die weitere Aufgabe besteht darin etwas zu konstruieren, das aus einer Kombination von und die Fibonacci-Folge macht. Die Fibonacci-Folge besteht aus ganzen Zahlen. Die Folgen und liefern aber nie ganze Zahlen! Der Trick besteht nun darin, eine sogenannte Linearkombination zu bilden. Man kann zeigen, dass jede Folge ebenfalls die Rekursionsgleichung erfüllt (einfach einsetzen und ausrechnen). Jetzt gilt es, und so zu wählen, dass die zu ganzen Zahlen werden. Bzw. genauer: die beiden Koeffizienten müssen so gewählt werden, dass und wird. Gruß Werner |
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WOW Erstmal Danke Werner! Das hat mich schon ein ganzes Stück weiter gebracht. Nur hänge ich jetzt am Gleichungssysthem. Die Gleichung muss doch lauten: α ((1+wurzel5)/2)^n β* ((1-wurzel5)/2)^n Ich hoffe man kann die Gleichung so erkennen. 1. Warum steht das plötzlich im Exponenten? und nun muss ich doch und setzen und dafür α und β ausrechnen? Grüße Sami |
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Hallo Sami, ja - natürlich steht das im Exponenten - wo sonst? Die Anforderung ist doch, dass das zur Fibonacci-Folge wird. Also muss doch u.a. gelten: und dies setzt Du jetzt einfach in die obige Gleichung bzw. ein. Damit erhältst Du zunächst zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten und , die es zu lösen gilt. Gruß Werner |
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Vielen Vielen Dank Werner. Habe die Aufgabe nun gelöst, und meine Fragen sind beantwortet. Grüße Sami |
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