Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Die Ordnung eines Gruppenelementes

Die Ordnung eines Gruppenelementes

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, Ordnung

Might aktiv_icon

13:18 Uhr, 10.12.2015

Aufgabe auf dem Bild unten.

Und zwar verstehe ich das nicht.
Wir hatten die Ordnung als ord(g)

= | < g > |

definiert, mit

g \in G

Gruppe.
Und

< g > = {g^{n} | n \in ℤ}

Naja, sogesehen ist die Ordung von

x \in G

ja dann unendlich, genauso wie die von

y

. ??

Wäre schön wenn da jemand Rat wüsste..

DrBoogie aktiv_icon

13:56 Uhr, 10.12.2015

Wieso denn unendlich?
Niemand hat gesagt, dass

g^{n}

für alle

n

verschieden sind.

Eine Definition aus der Vorlesung ist etwas zu wenig als Basiswissen.
Lese darüber:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/elementordnung.html
http://www.mathematik.tu-dortmund.de/~algebra/Algebra_2012/Skript/algebra_kap2_1.pdf

Might aktiv_icon

16:02 Uhr, 10.12.2015

Ok,

wie darf ich dann also mit der Gruppe

G

das

< x >

für ein einfaches Beispiel verstehen?
So wie ich es bisher verstanden habe wäre für

< x > = {x^{n} | n \in ℤ} = {x^{0}, x^{1}, x^{2}, ...}

aber das macht ja dann keinen Sinn... Auch bezüglich der schriftlichen Definition, die besagt, das

< x >

die kleinste Untergruppe von

G

ist, die das Element

x

enthält.

Als

< x > = {\bar{0}, \bar{1}, ..., \bar{x - 1}}

DrBoogie aktiv_icon

16:08 Uhr, 10.12.2015

Am einfachsten betrachte z.B. die Gruppe

Z_{5}^{*}

, sie besteht aus Elementen

1, 2, 3, 4

. Multiplikation in ihr wird Modulo

5

betrachtet. Nimm Element

2

, seine Potenzen sind

2^{1} = 2, 2^{2} = 4, 2^{3} = 8 = 3

2^{4} = 16 = 1

(es wird Modulo

5

gerechnet!). Damit ist

< 2 > = {1, 2, 3, 4} = Z_{5}^{*}

. Wenn Du aber

4

nimmst, hast Du schon als zweite Potenz

1

4^{2} = 16 = 1

. Damit

< 4 > = {1, 4} \neq Z_{5}^{*}

Might aktiv_icon

16:45 Uhr, 10.12.2015

Achso, ok.

Dann kapier ich aber immer noch nicht den Bezug zum kgV bzw kgG.

Mit der Überlegung aus www.mathe.tu-freiberg.de~hebisch/cafe/algebra/elementordnung.html
(4)

a^{k} = e \Leftrightarrow n | k

mit

n =

ord(a) endlich und

a \in (G, \cdot)

Gruppe

Hier

n =

ord(a) und

m =

ord(b)

(7)

ord(a

\cdot b) |

kgV(n,m),

Ist nämlich

k =

kgV(n,m) , so folgt aus

a \cdot b = b \cdot a

nach den Potenzrechenregeln

{(a \cdot b)}^{k} = a^{k} \cdot b^{k}

. Da aber sowohl

n =

ord(a) als auch

m =

ord(b) das kgV

k

teilen,

ergibt sich mit (4)

{(a \cdot b)}^{k} = e

. Abermalige Anwendung von

(4)

zeigt dann

(7)

.

Ist mir der untere Teil ab "ergibt sich..." unklar.

Hm, ok mit

n | k

ergibt sich

a^{k} = e

und mit

m | k

ergibt sich

b^{k} = e

. Also gilt auch

{(a \cdot b)}^{k} = e

. Mit

(4)

ergibt sich daraus ord(a*b)

| k

.

Hm ok ist irgendwie dann doch klar

._{_}

DrBoogie aktiv_icon

16:51 Uhr, 10.12.2015

Gut, Du hast bewiesen, dass

o r d (x \cdot y)

ein Teiler von

k g V (n, m)

ist.
Das ist schon gut. Du musst aber auch zeigen, dass

o r d (x \cdot y)

nicht kleiner als

k g V (n, m)

sein kann. Und das ist der Teil, wo

< x > \cap < y > = {e}

ins Spiel kommt.

Might aktiv_icon

17:11 Uhr, 10.12.2015

Hm, und was sagt mir das?

Achso,

< x >

bzw

< y >

bilden ja quasie eine Menge aus Resten bzgl eines modulo..
Hm, hilft mir dann doch nicht wirklich weiter..

Nun, vermutlich soll ich daraus auf irgendeine Aussage bezüglich des ggT oder des kgV kommen?

DrBoogie aktiv_icon

18:59 Uhr, 10.12.2015

Das geht so. Sei

l = k g V (n, m)

.
Nehmen wir an, dass

(x \cdot y)^{i} = e

und

0 < i < l

. Also,

x^{i} \cdot y^{i} = e

, woraus

x^{i} = y^{- i}

oder umgekehrt

y^{i} = x^{- i}

folgt, was bedeutet, dass

x^{i}

und

y^{i}

< x > \cap < y >

liegen. Da

i < k g V (m, n)

ist, ist

m

oder

n

kein Teiler von

i

. Damit ist

x^{i} \neq e

oder

y^{i} \neq e

. In beiden Fälle wäre

< x > \cap < y > = {e}

nicht mehr erfüllt. Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme falsch war, also ist

l

die minimale Zahl mit der Eigenschaft

(x \cdot y)^{l} = e

udn damit

o r d (x \cdot y) = l

Might aktiv_icon

20:09 Uhr, 10.12.2015

Nun, vielen Dank für die Mühe ;-)..

So ist das leicht nachzuvollziehen, nur selbst darauf zu kommen, ist nicht gerade einfacht.. und setzt vorallem allgemeines Verständnis für die mathematischen Strukturen vorraus...

Wie auch immer, der letzte Schritt:

{(x \cdot y)}^{l} = e \Leftrightarrow

ord

(x \cdot y)

teilt

l

Also ist ord

(x \cdot y) = l

und nicht nur Teiler, da

l

kleinstmögliche Zahl für Eigenschaft

{(x \cdot y)}^{l}

aber

l

trotzdem

\geq

ord

(x \cdot y)

wie vorher gezeigt.

Nagut so verständlicht!

Schönen Dank nochmal für die Mühe und noch einen schönen Abend ;-)!

1275460

1275379

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?