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Die Reihe e^ikx

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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12:30 Uhr, 16.12.2017

Hallo, wenn ich ehrlich bin, bin ich ein bisschen aufgeschmissen bei folgender Aufgabe.
Kann mir jemand helfen?

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12:32 Uhr, 16.12.2017

Da musst Du schon erklären, wo genau hackt.
a) ist z.B. ziemlich trivial. Kennst Du geometrische Summenformel?

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12:35 Uhr, 16.12.2017

Ja aber ich verstehe nicht wie man mit Sinus abschätzen muss.

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12:45 Uhr, 16.12.2017

\sin (x) = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i}

, daher

e^{i x} - 1 = e^{i x / 2} (e^{i x / 2} - e^{- i x / 2}) = 2 i e^{i x / 2} \sin (x / 2)

,
woraus folgt

∣ e^{i x} - 1 ∣ = 2 ∣ \sin (x / 2) ∣

.

Damit kann man abschätzen:

∣ \frac{e^{i x} (e^{i (n + 1) x} - 1)}{e^{i x} - 1} ∣ = \frac{∣ e^{i (n + 1) x} - 1 ∣}{∣ e^{i x} - 1 ∣} = \frac{∣ e^{i (n + 1) x} - 1 ∣}{2 ∣ \sin (x / 2) ∣} \leq \frac{∣ e^{i (n + 1) x} ∣ + 1}{2 ∣ \sin (x / 2) ∣} \leq \frac{2}{2 ∣ \sin (x / 2) ∣}

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12:50 Uhr, 16.12.2017

Ok? Aber wie kommt da die Reihe ins Spiel?

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12:55 Uhr, 16.12.2017

\sum_{k = 1}^{n} q^{k} = \frac{q (q^{n} - 1)}{q - 1}

- die Formel für geometrische Summe. Wird hier mit

q = e^{i x}

angewendet.

Entsprechend muss da eigentlich im Zähler

e^{i n x}

steht und nicht

e^{i (n + 1) x}

, aber das ändert nichts.

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12:59 Uhr, 16.12.2017

Achso ja das klingt logisch.
Hast du auch einen Ansatz wie ich

b)

und

c)

löse?

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13:17 Uhr, 16.12.2017

b) geht direkt mit dem Tipp:

\sum_{k = m}^{n} \frac{e^{i k x}}{k} = \sum_{k = m}^{n} \frac{s_{k} (x) - s_{k - 1} (x)}{k} = - \frac{s_{m - 1} (x)}{m} + \sum_{l = m}^{n - 1} s_{l} (x) (\frac{1}{l} - \frac{1}{l + 1}) + \frac{s_{n} (x)}{n}

, daher

∣ \sum_{k = m}^{n} \frac{e^{i k x}}{k} ∣ \leq \frac{∣ s_{m - 1} (x) ∣}{m} + \sum_{l = m}^{n - 1} ∣ s_{l} (x) ∣ (\frac{1}{l} - \frac{1}{l + 1}) + \frac{∣ s_{n} (x) ∣}{n} \leq

\leq \frac{1}{m \sin (x / 2)} + \frac{1}{\sin (x / 2)} \sum_{l = m}^{n - 1} (\frac{1}{l} - \frac{1}{l + 1}) + \frac{1}{n \sin (x / 2)} = \frac{1}{m \sin (x / 2)} + \frac{1}{\sin (x / 2)} (\frac{1}{m} - \frac{1}{n}) + \frac{1}{n \sin (x / 2)} = \frac{2}{m \sin (x / 2)}

c) folgt trivial aus b) und der Tatsache, dass

\sum_{n} \frac{1}{n}

divergiert (harmonische Reihe)

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14:41 Uhr, 16.12.2017

Eine Frage: Woher kommt die Reihe sl(x) die du in

b)

verwendest?

Und eine Frage zu

c) :

muss ich da das majorantenkriterium anwenden?

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16:31 Uhr, 16.12.2017

"Eine Frage: Woher kommt die Reihe sl(x) die du in b) verwendest?"

s_{l}

ist dasselbe wie

s_{k}

.
Ich habe die Summe umgeformt und dabei den Index

k

l

umbenannt, damit es deutlicher wird.

"Und eine Frage zu c): muss ich da das majorantenkriterium anwenden?"

Eher die Definition der Konvergenz.

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16:50 Uhr, 16.12.2017

c) :

ich verstehe nicht ganz wie du das meinst und vor allem was hat die harmonische Reihe damit zu tun?

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17:48 Uhr, 16.12.2017

Di Abschätzung aus b) funktioniert nur bei

x \neq 2 π n

, denn bei

x = 2 π n

müsste man durch

0

teilen. Diese Abschätzung zeigt die Konvergenz der Reihe per Definiton. Also mit

ε > 0

usw. Man wählt halt

m

groß genug, damit

\frac{1}{m \sin (x / 2)} < ε

gilt und ist fertig.

Wenn aber

x = 2 π n

, so gilt

e^{i k x} = 1

für alle

k

und damit bleibt die Reihe

\sum_{k} \frac{1}{k}

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