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Die Sphäre ist einfach zusammenhängend
Universität / Fachhochschule
Algebraische Topologie
Tags: Algebraische Topologie, nullhomotop, Sphäre, Zusammenhang
 
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Hallo, ich habe eine Frage zur Veranschaulichung der Begriffe -einfach zusammenhängend ( nullhomotop Fundamentalgruppe ist trivial) -zusammenziehbar anhand von der Sphäre . Zunächst dazu, was einfach zusammenhängend heißt: Jeder geschlossene Weg lässt sich auf einen Punkt zusammenziehen. Die Fundamentalgruppe besteht ja aus den Äquivalenzklassen geschlossener Wege, mit demselben Start- und Endpunkt die sich ineinander überführen lassen und jeder dieser Wege lässt sich auf den Startpunkt zusammenziehen als hat die Fundamentalgruppe ein Element. Ich weiß aus der Vorlesung (da ich mir den Nordpol und Südpol getrennt angucke), dass die Sphäre einfach zusammenhängend ist. D.h. jeder geschlossene Weg lässt sich auf einen Punkt zusammenführen. Das kann ich mir aber nicht vorstellen: Nehmen wir (1,0) als Startpunkt und einen Weg der den Kreis ganz umkreist und am Ende wieder am Startpunkt ankommt. Wie kann man denn diesen Weg zusammenziehen (also anschaulich betrachtet). Meine zweite Frage ist, ich denke, dass ich einigermaßen eine anschauliche Vorstellung dazu habe was die Fundamentalgruppe ist und was es heißt, dass man Wege zusammenziehen kann. Was genau heißt aber zusammenziehbar? Es ist ja so, dass die Identität dann homotop zu einer konstanten Abbildung ist. Wie kann man sich das anschaulich am Beispiel der Sphäre vorstellen (diese ist ja nicht zusammenziehbar)? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Wie kann man denn diesen Weg zusammenziehen (also anschaulich betrachtet)." Meinst Du, dass wir in der Ebene sind? Ein Kreis in der Ebene ist definitiv nicht einfach zusammenhängend. Eine Sphäre in dem 3-dimensionalen Raum ist einfach zusammenhängend (und auch höher dimensionalen Sphären). |
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Hallo, ja stimmt, mir ist grade aufgefallen, dass es nur für gilt und das ergibt auch anschaulich Sinn.. Kann man sich denn auch anhand der Sphäre veranschaulichen, wieso diese nicht zusammenziehbar ist? |
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Das ist schwierig. Ich kenne keinen elementaren Beweis dafür. Und offensichtlich ist das nicht. |
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Na gut, aber eigentlich ist meine Frage ja auch schon beantwortet, also vielen Dank! |
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Bei Interesse: math.stackexchange.com/questions/1237345/how-to-show-sn-is-not-contractible-without-using-homology |
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