Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Die Steigung der Funktion an Stelle x0 berechnen

Die Steigung der Funktion an Stelle x0 berechnen

Schüler Berufliches Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Differentialquotient

LenaMueller aktiv_icon

20:30 Uhr, 08.02.2013

Hey
wir haben heute das neue Thema Differentialquotient angefangen und es fällt mir ein wenig schwer damit klar zu kommen.

Wir haben als Hausaufgabe verschiedene Funktionen bekommen und die sollen die Steigung an der Stelle

x 0

.

wie zum Beispiel die hier:

f (x) =

x²-3x³

, x 0 = 1

und hier ist mein erster Schritt:

m = lim ((

1²

+ h) - (3 \cdot

1³

+ h)) - (

1²

- 3 \cdot

1³ )

h \to 0

ist das richtig?

ich danke euch im voraus :-)
LG Lena

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Differenzialquotient berechnen

Wie wird der Differenzialquotient berechnet?

Eva88 aktiv_icon

20:41 Uhr, 08.02.2013

Möchtest du die Funktion mit der h-Mezhode ableiten und die Steigung an

x_{0}

berechnen oder direkt mit dem Differenzialquzenten rechnen?

LenaMueller aktiv_icon

20:46 Uhr, 08.02.2013

ist meins nicht schon die h-Methode?

was ist der Unterschied?

Eva88 aktiv_icon

20:50 Uhr, 08.02.2013

h -

Methode

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Differenzialquozent

\frac{f (x) - f (x 0)}{x - x 0}

LenaMueller aktiv_icon

20:55 Uhr, 08.02.2013

mit der h-Methode was anderes haben wir noch nicht gemacht..

Wie würde dann mein erster schritt aussehen?

Eva88 aktiv_icon

20:56 Uhr, 08.02.2013

ok,

h -

Methode

Funktion einsetzen.

LenaMueller aktiv_icon

21:00 Uhr, 08.02.2013

m = lim

((1²+h)-(3

\cdot

1³+h))-(1²-3

\cdot

1³)

/ h

h \to 0

richtig?

Eva88 aktiv_icon

21:03 Uhr, 08.02.2013

Nee,

\frac{{(x + h)}^{2} - 3 {(x + h)}^{3} - (x^{2} - 3 x^{3})}{h}

Verstanden soweit? Wenn was unklar ist frage. Das ist ganz wichtig das du hie h-Methode kannst.

LenaMueller aktiv_icon

21:08 Uhr, 08.02.2013

Ja hab ich danke, aber jetzt muss ich doch für

x 1

einsetzen stimmts?

Eva88 aktiv_icon

21:10 Uhr, 08.02.2013

Das kommt erst viel später.

Jetzt die Klammern mit

^2

und

^3

auflösen.

Versuch mal.

LenaMueller aktiv_icon

21:16 Uhr, 08.02.2013

(x²+2h+h²)-3(x³+3x²h+3xh²+h³)-(x²-3x³)

/ h

Eva88 aktiv_icon

21:17 Uhr, 08.02.2013

in der zweiten Klammer muss es

h^{3}

heißen. Und noch

/ h

LenaMueller aktiv_icon

21:18 Uhr, 08.02.2013

Ja hab ich auch auf mein schmierblatt stehen sorry.

Also ist es soweit richtig?

Eva88 aktiv_icon

21:21 Uhr, 08.02.2013

Ja, sehr guz sogar. Jetzt die Klammern auflösen und vereinfachen.

LenaMueller aktiv_icon

21:24 Uhr, 08.02.2013

6x²h+h³-x²-2x³

Eva88 aktiv_icon

21:29 Uhr, 08.02.2013

Nee,

\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot h + h^{2} - 3 \cdot x^{3} - 9 \cdot x^{2} \cdot h - 9 \cdot x \cdot h^{2} - 3 \cdot h^{3} - x^{2} + 3 \cdot x^{3}}{h}

\frac{2 \cdot x \cdot h + h^{2} - 9 \cdot x^{2} \cdot h - 9 \cdot x \cdot h^{2} - 3 h^{3}}{h}

jetzt im Zähler

h

ausklammern und gegen den Nenner kürzen.

LenaMueller aktiv_icon

21:40 Uhr, 08.02.2013

h(2x+h-9x²-9xh-3³)/h

dann fällt das

h

vor der klammer im zähler und das

h

im nenner weg also bleibt nur noch 2x+h-9x²-9xh-3³ übrig

Eva88 aktiv_icon

21:44 Uhr, 08.02.2013

2 x + h - 9 x^{2} - 9 x \cdot h + 3 h^{2}

jetzt der Grenzübergang

lim_{h \to 0} = 2 x - 9 x^{2}

jetzt

x = 1

einsetzen

2 \cdot 1 - 9 \cdot 1 = - 7

Die Steigung an der Stelle

x = 1

der Funktion

x^{2} - 3 x^{3}

beträgt

- 7

LenaMueller aktiv_icon

21:49 Uhr, 08.02.2013

oh man ich mach so viele fehler

\frac{:}{}

danke für deine hilfe hab diese aufgabe verstanden :-)

würden sie mit mir zusammen noch weitere 4 aufgaben machen die ich aufhabe?

Eva88 aktiv_icon

21:52 Uhr, 08.02.2013

Das sich Fehler einschleichen, kann passieren. Wichtig ist das die Binome richtig aufgelöst werden, dann vereinfachen. Anschließend

h

ausklammern und kürzen.

Dann noch den Grenzübergang bilden und

x \in f' (x)

einsetzen.

LenaMueller aktiv_icon

21:59 Uhr, 08.02.2013

Ja okay ich werde es versuchen.

aber wie macht man es bei

f (x) = \frac{1}{x}

²,

x 0 = 1

oder

f (x) =

wurzel

x, x 0 = 2

???

Eva88 aktiv_icon

22:01 Uhr, 08.02.2013

Das leitet man mit der Kurzformel ab, welche sich aus der h-Methode ergibt.

Es geht auch mit der h-Methode, ist aber sehr aufwendig.

Kennst du die Kurzformel schon?

LenaMueller aktiv_icon

22:04 Uhr, 08.02.2013

Nein kenne ich nicht

Eva88 aktiv_icon

22:06 Uhr, 08.02.2013