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Die n-te Ableitung einer Fkt. bestimmen!

Universität / Fachhochschule

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Tags: Funktion

Micho aktiv_icon

16:01 Uhr, 01.01.2009

Hallo, ich komme mit der folgenden Aufgabe nicht zurecht, hoffentlich kann mir da jmd. weiter helfen!

SEI a eine feste Zahl, $f (x) = x \cdot$ e^ax .

Bestimmen sie die n-te Ableitung $f^{n} (x)$ für alle natürlichen $n$ und alle reellen $X$ .

Tip: berechnen sie die Ableitung für $n = 1 - 2 - 3$ und vll. noch 4 und erraten sie daraus eine allgemeine formel und beweisen sie diese durch vollständige Induktion!

Ich wende hierbei die produktregel an, aber irgendwie macht das nicht so viel sinn irgendwie? hoffe mal eure antworten helfen mir weiter! Ich weis auch nicht so genau, was ich mit dem a anfangen soll ?!?!?

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DK2ZA aktiv_icon

17:11 Uhr, 01.01.2009

$f (x) = x \cdot e^{a \cdot x}$

$f' (x) = e^{a \cdot x} + x \cdot a \cdot e^{a \cdot x} = e^{a \cdot x} \cdot (1 + a \cdot x)$

$f'' (x) = a \cdot e^{a \cdot x} + a \cdot e^{a \cdot x} + x \cdot a^{2} \cdot e^{a \cdot x} = e^{a \cdot x} \cdot (2 \cdot a + a^{2} \cdot x)$

$f'' (x) = a^{2} \cdot e^{a \cdot x} + a^{2} \cdot e^{a \cdot x} + a^{2} \cdot e^{a \cdot x} + x \cdot a^{3} \cdot e^{a \cdot x} = e^{a \cdot x} \cdot (3 \cdot a^{2} + a^{3} \cdot x)$

$f'''' (x) = e^{a \cdot x} \cdot (4 \cdot a^{3} + a^{4} \cdot x)$

Vermutung:

$f^{n} (x) = e^{a \cdot x} \cdot (n \cdot a^{n - 1} + a^{n} \cdot x)$

Zu zeigen:

Aus der Gültigkeit dieser Gleichung für $n$ folgt, dass sie auch für $n + 1$ gilt, dass also

$f^{n + 1} (x) = e^{a \cdot x} \cdot ((n + 1) \cdot a^{n} + a^{n + 1} \cdot x)$

Dazu muss man $f^{n} (x)$ noch einmal nach der Produktregel ableiten:

$f^{n + 1} (x) = a \cdot e^{a \cdot x} \cdot (n \cdot a^{n - 1} + a^{n} \cdot x) + e^{a \cdot x} \cdot a^{n}$

$f^{n + 1} (x) = e^{a \cdot x} \cdot (a \cdot (n \cdot a^{n - 1} + a^{n} \cdot x) + a^{n})$

$f^{n + 1} (x) = e^{a \cdot x} \cdot (n \cdot a^{n} + a^{n + 1} \cdot x + a^{n})$

$f^{n + 1} (x) = e^{a \cdot x} \cdot ((n + 1) \cdot a^{n} + a^{n + 1} \cdot x)$

GRUSS, DK2ZA

Micho aktiv_icon

19:07 Uhr, 01.01.2009

Eine frage mal zum verständnis....

$e^{x}$ bleibt sich ja immer beim ableiten treu, also wenn man $e^{x}$ ableitet, dann erhält man wieder $e^{x},$ aber wie ist es wenn ich e^ax habe.....

was passiert da genau, bzw. wie leite ich zb. $e^{5} x$ ab....?

DK2ZA aktiv_icon

20:06 Uhr, 01.01.2009

$f (x) = e^{a \cdot x}$

Kettenregel anwenden (auch genannt: nachdifferenzieren) liefert:

$f' (x) = a \cdot e^{a \cdot x}$

GRUSS, DK2ZA

Micho aktiv_icon

20:56 Uhr, 01.01.2009

Also habe jetzt alles bis dato verstanden, nur der Beweis ist mir bissi ungewiss, also, wieso benutze ich denn die Kettenregel??

Bzw. warum leite ich denn überhaupt $f^{n} + 1 (x)$ ab??

normalerweise ist ja bei der induktion so, dass man zeigen muss dass

$f^{n} (x) = f^{n} + 1 (x)$

wir haben es ja hier nur abgeleitet, aber mir ist nicht ganz klar was das jetzt bringen ??

DK2ZA aktiv_icon

21:25 Uhr, 01.01.2009

Zu zeigen ist, dass die Vermutung tatsächlich für alle $n$ gilt.

Dazu zeigst du, dass aus der Gültigkeit für $n$ auch die Gültigkeit für $n + 1$ folgt.

Dann gilt die vermutete Formel nämlich für alle $n,$ da sie ja für $n = 1, 2, 3$ und 4 schon bewiesen wurde.

GRUSS, DK2ZA

Micho aktiv_icon

23:04 Uhr, 01.01.2009

Hmm das weis ich ja alles, aber wieso denn das $n + 1$ noch mal ableiten?! das habe ich nicht genau verstanden?? aber ansonsten bis dahin sehr gut nachvollziehbar...dankeschön.

DK2ZA aktiv_icon

08:40 Uhr, 02.01.2009

Ich habe nicht $f^{n + 1} (x)$ noch einmal abgeleitet, sondern $f^{n} (x)$ .

Das ergibt dann $f^{n + 1} (x),$ welches mit der Vermutung übereinstimmen muss.

GRUSS, DK2ZA

Micho aktiv_icon

14:36 Uhr, 02.01.2009

Ah ok jetzt macht es klick!

Ich habe dazu auch eine letzte frage, ich habe eben eine andere Formel auch hergeleitet und diese bewiesen, nur würd mich gern interessieren...

bei der vollständigen induktion, muss man immer $f^{n}$ ableiten um dann auf $f^{n} + 1$ zu kommen?

wenn das so ist, dann ist alles klar, oder gibt es paar ausnahemen bzw. ist das nur eine ausnahme?

gruß micho

DK2ZA aktiv_icon

15:46 Uhr, 02.01.2009

Na ja, man muss natürlich immer $f^{n}$ ableiten, um $f^{n + 1}$ zu erhalten.

Aber das hat mit vollständiger Induktion nichts weiter zu tun.

Bei der vollständigen Induktion musst du zeigen, dass aus der Gültigkeit einer Aussage für eine natürliche Zahl $n$ folgt, dass sie dann auch für $n + 1$ zutrifft.

GRUSS, DK2ZA

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