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Die perfekte Streichholzschachtel

Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Analysis, Realisitsche Anwendungen

anonymous

14:24 Uhr, 18.11.2013

Gegeben: Die Streichhölzer sind rund 4,5 cm lang, die Schachtel 0,5 cm länger
40 Streichhölzer passen in eine Schachtel mit einer Dicke von 2mm, das ergibt ein Volumen von 17,5cm³.

Prüfen sie, ob die marktübliche Streichholzschachtel materialminimal gebaut ist. Vereinfachen sie sich die Denkarbeit, indem sie annehmen,dass:
Innenteil und Hülle dieselbe Länge l/Breite b und Höhe h haben
keine Seitenverstärkungen vorhanden sind

Gesucht: Maße der Opitmalen Streichholzschachtel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Rasaphar aktiv_icon

15:31 Uhr, 18.11.2013

Hallo blutorange,

irgendwie fehlen mir da ein paar Angaben bei der Aufgabe. Beispielsweise stellt sich mir die Fragen:
1. Was ist mit den überschüssigen 5mm ? Da könnte man in der Theorie schonmal sparen.
2. Sind es runde oder eckige Streichhölzer? (eckig mit Kantenlänge 2mm oder Diagonale 2mm?)

Woher kommen die 17,5cm³ ?
Bei eckig: 2mm $\cdot$ 2mm $\cdot$ 45mm $\cdot$ 40Stk = 7200mm³ = 7,2cm³
Bei rund: $π \cdot$ (1mm)² $\cdot$ 45mm $\cdot$ 40Stk $\approx$ 5655mm³ = 5,6cm³

Schachtelvolumen ? (Sollt ihr an einer echten Schachtel nachmessen? XD )

Ihr sollt ja sicherlich über die Formel der Oberfläche diskutieren.

$A = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$

(Stichwort: Erste Ableitung)

Dabei könntest du schonmal festlegen, dass eine der 3 Seiten 45mm (bzw. 50mm mit den 5mm Überlänge) lang sein muss, damit die Hölzer reinpassen.

Aber lies nochmal genau die Aufgabenstellung. Da ist einiges unklar (meiner Meinung nach)

(Nach kurzer Überlegung denke ich, dass ca. 14mm $\cdot$ 14mm $\cdot$ 45mm die optimalen Maße sein sollten)

Grüße
Rasa

anonymous

15:42 Uhr, 18.11.2013

Hallo Rasa,

1.da die Streichhölzer 4,5 cm lang sind ist die Schachtel 0,5 länger damit sie gut reinpassen.
2. ob die streichhölzer rund oder eckig sind kann ich dir leider nicht genau sagen bei meiner Aufgabe steht leider nur eine dicke von rund 2mm. Aber ich habe ebenfalls mit eckigen Gerechnet.

und das Schachtelvolumen ist 17,5cm³. Das steht ersten so in der Aufgabe ergibt sich aber auch aus den realen Werten l=5cm, b= 3,5 cm, h=1cm.

Für mich ist nun herrauszufinden was die Opitmale Streichholzschachtel für maße hätte.

Ich hoffe ich konnte deine Unklarheiten aufklären.

Grüße

prodomo aktiv_icon

07:55 Uhr, 19.11.2013

Wenn $5, b$ und $c$ die Seiten der Quaderform sind, beträgt der Materialverbrauch (Fläche der Pappe) $A = (5 \cdot b + 2 \cdot 5 \cdot c + 2 \cdot b \cdot c) + (2 \cdot 5 \cdot b + 2 \cdot 5 \cdot c)$ . Dabei steht die vordere Klammer für die Innenschachtel und die zweite für die Hülle. Wenn $V = 17,5$ sein soll, gilt $5 \cdot b \cdot c = 17,5$ oder $c = \frac{3,5}{b}$ . Damit wird $A = 5 \cdot b + \frac{35}{b} + 7 + 10 \cdot b + \frac{35}{b} = 15 \cdot b + 7 + \frac{70}{b}$ und $A' = 15 - 70 \cdot b^{- 2}$ . Daraus folgt $b_{e} = \sqrt{\frac{14}{3}} = 2,16$ und $c = 1,62$ . Alle Maße in cm.

anonymous

17:11 Uhr, 19.11.2013

Danke Promodo

mir stellt sich nur die frage woher du die erste Formel hast? und ist nicht 5cm die Seite c?

prodomo aktiv_icon

09:24 Uhr, 20.11.2013

Die Wahl der Variablen für die Seiten ist beliebig, ich habe a für die längste bSeite genommen. Die Volumenformel für den Quader $(V = 5 \cdot b \cdot c)$ brauche ich hoffentlich nicht zu erklären, zu der anderen habe ich doch gepostet, was jede Klammer darstellt. Wenn du das nicht umsetzen kannst, zeichne dir ein Netz auf, es sind nur Rechtecke !

anonymous

14:38 Uhr, 21.11.2013

Gut danke das hat mir sehr geholfen.

nur ist mir noch nicht ganz schlüssig wie du den Punkt b errechnest.

und meine 2te Frage wäre was versteht man unter dem globalen Maximum auf dem interessierenden Intervall ?

und wie ich den Materialverbrauch errechne

prodomo aktiv_icon

15:34 Uhr, 21.11.2013

$b$ errechnet man so, wie man es bei Extremwertten immer macht, also $A' (b_{e}) = 0$ . Mit $A' (b) = 15 - 70 \cdot b^{- 2}$ folgt $15 = \frac{70}{b^{2}}$ oder $b^{2} = \frac{70}{15} = \frac{14}{3}$ . Das sind doch nur einfache Gleichungsumformungen. Anschließend setzt du $b$ in die Nebenbedingung ein, um $c$ zu erhalten, dann beide in V. Den Materialverbrauch bekommst du, indem du $b$ unc in A einsetzt.
Das globale Maximum bekommst du, indem du das lokale Maximum mit den Randwerten des Intervalls vergleichst. Das ist hier etwas schwierig, weil man schlecht bestimmen kann, welche Werte für $b$ möglich sind. Der kleinste Wert ist wahrscheinlich die Dicke eines Streichholzes , weil sonst die Schachtel zu flach würde. Der größte Wert ist dann der, der sich ergibt, wenn die Seite $c$ diese Dicke annimmt. Anschaulich bedeutet das, dass die Hölzer einmal alle nebeneinander wie Dielenbohlen liegen, beim anderen Mal in einer Lage übereinander wie die Stämme einer Blockhütte. In beiden Fällen wird die Schachtel mehr Pappe brauchen als in dem berechneten. Wenn $b = 2$ mm $= 0,2$ cm gilt, muss $c = \frac{3,5}{0,2} = 17,5$ sein, für $c = 0,2$ folgt $b = 17,5$ . Das A dazu kannst du leicht ausrechnen, es ist viel größer als das gefundene Minimum. Also ist das lokale Minimum auch das globale.

anonymous

15:44 Uhr, 21.11.2013

Vielen herzlichen Dank.

anonymous

13:40 Uhr, 12.12.2013

leider komm ich mit dem berechnen des globalen Maximum noch nicht klar?
Könnte mir da noch jemand helfen

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