Aufgabe Punkte) (Die symmetrische Gruppe) Sei die Menge . Mit Sn bezeichnen wir die Menge aller bijektiven Abbildungen von auf . Zeigen Sie, dass die Menge Sn (mit der Verknüpfung „o“ von Abbildungen) eine Gruppe bildet. Weisen Sie nach, dass die Gruppe Sn für nicht kommutativ ist. Bemerkung: Ein Element € Sn heißt Permutation. Wir schreiben € Sn in der Form . . . . . .
Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung wie ich da so richtig ran gehen soll. Eine bijektive Abbildung bedeutet ja, dass jedem Element der einen Menge, genau ein Element der anderen Menge zugewiesen wird.
Die Gruppenaxiome sind mir auch bekannt.
Assoziativität neutrales Element inverses Element
Genügt es bei der Assoziativität das zu schreiben?:
€
Das neutrale Element bedeutet ja
Das inverse Element heisst nix weiter als:
Ich weiss aber nicht wie ich das bei dieser Gruppe Sn anwenden soll. Ich komme nicht weiter. Kann mir bitte wer helfen?
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
Assoziativität bei Abbildungen ist so einfach, dass man gar nicht merkt, dass man scon fertig ist :-)
Für bestimme den Wert von sowie bei . Es handelt sich in beiden Fällen einfach um (Übrigens sind nicht in sondern in
Die identische Abbildung ist das offensichtliche neutrale Element. Inverse gibt es nach Definition von Bijektivität
Für Teil betrachte die Permutation die vertauscht und die Permutation die vertauscht. Was machen bzw. (was passiert etwa mit der 1?)
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