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Diedergruppe, Symmetriegruppe Dn, Zentrum finden

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen

Selina93 aktiv_icon

12:44 Uhr, 11.12.2016

Hallo, ich soll das Zentrum der Symmetriegruppe Dn finden. Kann mir da jemand helfen?
Danke schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

mihisu aktiv_icon

15:07 Uhr, 11.12.2016

Jede Diedergruppe wird von einer Drehung

r

und einer Spiegelung

s

erzeugt, wobei

s^{2} = 1

und

r^{n} = 1

und

s \cdot r = r^{- 1} \cdot s

ist.

Nun liegt ein

g \in D_{n}

genau dann im Zentrum von

D_{n},

wenn es mit allen Elementen aus

D_{n}

vertauscht.
Da

r

und

s

die Gruppe

D_{n}

erzeugen, reicht es dafür zu überprüfen, ob

g

mit

r

vertauscht und

g

mit

s

vertauscht.

Also:

Z (D_{n}) = {g \in D_{n} | r \cdot g = g \cdot r \land s \cdot g = g \cdot s}

Bedenke dabei dass sich jedes Element in

D_{n}

als

s^{a} \cdot r^{b}

mit

a \in {0, 1}

und

b \in {0, 1, ..., n}

darstellen lässt.

\\\\

Als Ergebnis solltest du erhalten:

Für

n = 2 :

Z (D_{2}) = D_{2}

Für

n \in 1 + 2 ℕ :

Z (D_{n}) = {1}

Für

n \in 2 + 2 ℕ :

Z (D_{n}) = {1, r^{\frac{n}{2}}}

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