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Diffeomorphismus Aufgabe

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Diffeomorphismus, Differentiation

 
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Mathe12312

Mathe12312 aktiv_icon

13:25 Uhr, 03.05.2021

Antworten
Guten Tag Zusammen :-)

Ich habe diese Woche wieder einige Übungsaufgaben zum Thema des Diffeomorphismus.

Im Anhang schicke ich die beiden Aufgaben, welche mir Mühe bereiten.

Bei beiden Aufgaben weiss ich nicht genau wie ich vorgehen sollte...

bei der ersten der beiden geht es darum z.z dass ein polynominaler Diffeomorphismus mit polynominaler Umkehrabbildung affin ist.
Nun wie finde ich überhaupt ein polynominaler DIffeomorphismus?

Meine Überlegung war: z.b. x2+x+1→2x+1 (also f=Ableitung)
dies ist ja ein polynominaler Diffeomorphismus oder?

muss ich nun nur noch zeigen ob die Umkehrabbildung linear und konstant (affin) ist?

Vielleicht reicht es erstmal wenn wir nur die erste der beiden Aufgaben anschauen :-)

Vielen Dank um jegliche Hilfe :-)


LG


Ps. habe die Frage bereits vorhin gestellt, leider das falsche Dokument hochgeladen

Bildschirmfoto 2021-05-03 um 11.54.31

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:39 Uhr, 03.05.2021

Antworten
Hallo,
zu 3.:
Sei
f(x)=i=0raixi und sei
g(x)=j=0sbjxj die polynomiale Umkehrfunktion,
so dass also f(g(x))=x.
Wir machen Koeffizientenvergleich der beiden Seite dieser Gleichung:
f(g(x))=i=0rai(j=0sbjxj)i=x.
Der zur höchsten x-Potenz gehörige Term (der Leitterm)
der linken Seite muss mit dem Leitterm der rechten Seite übereinstimmen:
arbsxrs=x, also rs=1, folglich r=s=1
und a1b1=1. Daraus sollte sich alles ergeben ...
Gruß ermanus

Mathe12312

Mathe12312 aktiv_icon

11:01 Uhr, 04.05.2021

Antworten
Vielen herzlichen Dank für die ausführliche Antwort. Hatte wohl einen falschen Ansatz :-)
Aber nun sollte alles klar sein bei dieser Aufgabe, konnte ihrem Rechnungsweg gut folgen!

Wie sieht es bei der Aufgabe 4 aus? könnten Sie mir da vielleicht auch helfen?

Nochmals vielen Dank! :-)

LG
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

11:19 Uhr, 04.05.2021

Antworten
In 4 muss naheligend f(x,y)=(y-x2,p(x,y)) gelten, damit y-x2=0 auf x=0 abgebildet wird.
Jetzt muss nur noch p(x,y) so gewählt werden, dass f ein Differomorphismus ist.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

11:24 Uhr, 04.05.2021

Antworten
Hallo,
was hältst du von f(x,y)=(x,y-x2).
g mit fg=gf=id solltest du leicht
bestimmen können.
Gruß ermanus

Oh, DrBoogie war schneller,
aber ich verstehe seine Lösung nicht :(
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

11:27 Uhr, 04.05.2021

Antworten
Ah ja, x-Achse ist y=0 und nicht x=0, mein Fehler.
Also dem Vorschlag von Ermanus folgen. :-)
Mathe12312

Mathe12312 aktiv_icon

11:43 Uhr, 04.05.2021

Antworten
Erstmals Vielen Dank für die beiden raschen Antworten :-)

Leider verstehe ich es doch noch nicht ganz...

Also da die Abbildung ja auf die x-Achse abbildet muss ja y=0 gelten...

und auch das gewählte f(x,y)=(x,y-x2) macht für mich durchaus Sinn.

Aber ist dies nun schon der gesuchte Diffeomorphismus? und aus welchem Grund verknüpfst du noch die beiden Funktionen?

Vielleicht ist es auch schon offensichtlich und ich sehe es noch nicht ganz :-) Jedenfalls vielen Dank für eure Geduld


Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

11:49 Uhr, 04.05.2021

Antworten
" ... und aus welchem Grund verknüpfst du noch die beiden Funktionen?"
Man muss doch zeigen, dass es eine Umkehrabbildung gibt, die ebenfalls
Differenzierbar (oder hier sogar polynomial) ist.
Ich brauche also ein g=f-1.
Mathe12312

Mathe12312 aktiv_icon

13:46 Uhr, 04.05.2021

Antworten
Ach, danke!

In diesem Fall ist mein g(x) einfach:

g(x)=(x,y+x2)?

habe ich das so richtig verstanden?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:48 Uhr, 04.05.2021

Antworten
Ja :-)
So war es gemeint.
Gruß ermanus
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:52 Uhr, 04.05.2021

Antworten
Du meinst wohl g(x,y)=... und nicht g(x)=...
Frage beantwortet
Mathe12312

Mathe12312 aktiv_icon

13:54 Uhr, 04.05.2021

Antworten
Super, Vielen Dank für eure Geduld! :-)

und ja klar meinte ich g(x,y) habe ich in der Eile ganz vergessen..

Lg