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Differentialgleichung 1.Ordnung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

rud77 aktiv_icon

23:15 Uhr, 27.09.2023

wie kann ich diese lineare DGL 1.Ordnung auf 2 varianten lössen?

y´+ty=2t

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

01:22 Uhr, 28.09.2023

Schon mal mit Trennen der Variablen versucht?

HJKweseleit aktiv_icon

00:41 Uhr, 08.05.2026

Wird nach t oder nach x abgeleitet?

Randolph Esser aktiv_icon

02:10 Uhr, 19.05.2026

Hallo rud77,

das ist Krempel von der Stange (Analysis

2,

siehe Anhang)
und kann ohne Komplikationen
hingerechnet werden:

y' (t) = - t y (t) + 2 t

mit

y_{0} := y (t_{0})

\Rightarrow

y (t) = e^{\int_{t_{0}}^{t} - s d s} (y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} 2 s e^{\int_{t_{0}}^{s} τ d τ} d s)

= e^{\frac{1}{2} (t_{0}^{2} - t^{2})} (y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} 2 s e^{\frac{1}{2} (s^{2} - t_{0}^{2})} d s)

= e^{\frac{1}{2} (t_{0}^{2} - t^{2})} (y_{0} + e^{- \frac{1}{2} t_{0}^{2}} (2 e^{\frac{1}{2} t^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} t_{0}^{2}}))

= e^{\frac{1}{2} (t_{0}^{2} - t^{2})} y_{0} + e^{- \frac{1}{2} t^{2}} (2 e^{\frac{1}{2} t^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} t_{0}^{2}})

= e^{\frac{1}{2} (t_{0}^{2} - t^{2})} y_{0} + 2 - 2 e^{\frac{1}{2} (t_{0}^{2} - t^{2})}

= e^{\frac{1}{2} (t_{0}^{2} - t^{2})} (y_{0} - 2) + 2,

definiert auf ganz

ℝ

.

Für Varianten kann man das auch in kleinen Happen rechnen,
statt einfach direkt die ganze Formel zu klopfen,
also

z . B

. erst

y' (t) = - t y (t)

lösen usw.
(quasi die Formel zu Fuß gehen),
oder auch gemäß dem 3. Anhang argumentieren
(was auf dasselbe in grün rausläuft)...

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