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Differentialgleichung 2. Ordnung

Schüler

Tags: Allgemein, Lösung

stinlein aktiv_icon

21:08 Uhr, 18.04.2018

Brächte nochmals dringend Hilfe. Danke vielmals im Voraus!
Die Aufgabe:
Nr.

4) i

y'' - 3 y' = 2 x^{3} - x + 2

Lösung:

y = - \frac{1}{54} (9 x^{4} + 12 x^{3} + 3 x^{2} + 38 x) + c_{1} + c_{2} \cdot e^{3 x}

Bin mit meinem Ergebnis nahe dran, aber ich weiß, irgendwo habe ich versagt!
Meine Rechnung:

λ^{2} - 3 λ = 0

λ_{1} = 3

λ_{2} = 0

y_{P} =

ax^3

+

Bx^3

+

+ D

y_{P}' =

3Ax^2 +2Bx

+ C

y_{p}'' = 6

+ 2 B

Einsetzen in DGL:

6 A x + 2 B - 3 (3 A x^{2} +

2Bx

+ C) = 2 x^{3} - x + 2

- 9 A x^{2} + x (6 A - 6 B) + 2 B - 3 C = 2 x^{3} - x + 2

Koeffizientenvergleich:

- 9 A = 0

A = 0

6 A - 6 B = - 1

B = \frac{1}{6}

2 B - 3 C = 2

c - \frac{5}{9}

y_{P}

einsetzen:

y_{P} = 0 \cdot x^{3} + \frac{1}{6} x^{2} - \frac{5}{9} x

y

_ges

= y_{P} + y_{H} = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{5}{9} x + e^{3 x} \cdot c_{1} + c_{2}

Das wäre dann mit der Musterlösung verglichen:

y_{P} = - \frac{1}{54} (9 x^{2} - 30 x) + e^{3 x} \cdot c_{1} + c_{2}

Da fehlt bei mir verschiedes im Klammerausdruck!

Musterlösung.

y = - \frac{1}{54} (9 x^{4} + 12 x^{3} + 3 x^{2} + 38 x) + c_{1} + c_{2} \cdot e^{3 x}

Ich bedanke mich ganz herzlich für die Hilfe!
stinlein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

21:27 Uhr, 18.04.2018

Die Musterlösung sollte dir schon einen Hinweis auf deinen Fehler geben. Du erkennst doch dort, dass die Partikuärlösung ein Polynom vierten Grades ist. Daher kann dein Ansatz mit einem Polynom dritten Grades nicht fruchten.
Du musst dein

y_{p}

noch mit

x

multiplizieren.
Warum! Weil der konstante Anteil deines

y_{p}

(das

D)

bereits ein Teil der Lösung der homogenen DGL ist (das

c_{1})

. das würde also nichts Neues bringen.
Formal: Wenn Die Störfunktion eine Polynomfunktion ist und eine Lösung der charakteristischen Gleichung ist Null, dann ist der "normale" unbestimmte Ansatz eines Polynoms vom gleichen Grad wie die Störfunktion noch einmal mit

x

zu multiplizieren.
Du kannst das auch der Übersicht, auf die ich mal in einem anderen Thread verwiesen habe, entnehmen (siehe Bild).
Wären beiden Lösungen der charakteristischen Gleichung Null, so müsste man mit

x^{2}

multiplizieren. Allerdings würde sich die DGL in diesem Fall ja ganz einfach durch zweimaliges Integrieren lösen lassen.

Also

y_{p} = A \cdot x^{4} + B \cdot x^{3} + C \cdot x^{2} + D \cdot x (

es kommt da kein

+ E

dazu!)

stinlein aktiv_icon

21:34 Uhr, 18.04.2018

Danke, dass du mich nochmals darauf aufmerksam gemacht hast. Ich habe die Ansatzfunktionen vor mir liegen, mit denen arbeite ich. Konnte das wieder nicht aus der Vorlage herauslesen. Ich glaube aber, dass ich jetzt weiterkommen werde. Ich kann mich allerdings erst morgen damit eingehend befassen.
Freudige Nachricht: Konnte heute selbständig doch einige Aufgaben lösen.
Danke dir ganz herzlich. Vielleicht noch eine Rückfrage morgen!
DANKE! DANKE! DANKE! Ich müsst das Wort "DANKE" eigentlich zwanzig Mal schreiben.
lg stinlein

stinlein aktiv_icon

21:38 Uhr, 18.04.2018

D A N K E!

stinlein

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