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Differentialgleichung + Vektorfeld

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Eigenwert, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vektorfeld

Chicxulub aktiv_icon

11:17 Uhr, 20.06.2021

Betrachten Sie das Vektorfeld

f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}, f (x, y) = (sin (- x + y) + x y, e^{(x - 3 y)} - 1)

und die zugehörige Differentialgleichung

(\dot{x}, \dot{y}) = f (x, y)

.
Der Punkt

(0,0)

ist eine Ruhelage des Systems. Berechnen Sie die Eigenwerte der Linearisierung von

f \in (0,0)

. Entscheiden Sie, ob diese Ruhelage asymptotisch stabil/
stabil/instabil ist. Begründen Sie Ihre Antwort.

Was wäre hier der Ansatz, bzw. wie würde man hier vorgehen.

Danke für eure Hilfe.
VG
Dino

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:57 Uhr, 20.06.2021

Hallo,

die Linearsisierung ist

f (x, y) \approx f (0,0) + f' (0,0) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

mit der Jacobi-Matrix

f' (0,0)

. Die kannst Du doch mal ausrechnen und davon die Eigenwerte.

Gruß owm

pwmeyer aktiv_icon

11:57 Uhr, 20.06.2021

Hallo,

die Linearsisierung ist

f (x, y) \approx f (0,0) + f' (0,0) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

mit der Jacobi-Matrix

f' (0,0)

. Die kannst Du doch mal ausrechnen und davon die Eigenwerte.

Gruß owm

Chicxulub aktiv_icon

12:40 Uhr, 20.06.2021

Danke!
Ist meine Jacobi-Matrix denn bis hierhin schonmal richtig?

J_{f} (x, y) = (\begin{matrix} y - cos (x - y) & cos (x - y) \\ e^{x - 3 y} & - 3 e^{x - 3 y} \end{matrix})

VG
Dino

Chicxulub aktiv_icon

12:44 Uhr, 20.06.2021

Damit wäre dann ja

J_{f} (0,0) = (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & - 3 \end{matrix})

Chicxulub aktiv_icon

12:46 Uhr, 20.06.2021

Das charakteristische Polynom ist dann

λ^{2} + 4 λ + 2

mit den Eigenwerten

λ_{1} = - 2 - \sqrt{2}

λ_{2} = \sqrt{2} - 2

pwmeyer aktiv_icon

13:10 Uhr, 20.06.2021

Du hast bei

J

auf der Position

2,2

ein

+ x

vergessen, das wirkt sich aber im Folgenden nicht aus.

Also siehst Du: alle Eigenwerte sind negativ.

Gruß pwm

Chicxulub aktiv_icon

13:37 Uhr, 20.06.2021

Vielen Dank!

Stimmt (mit dem

+ x),

danke. Hab ich beim Eintippen übersehen.

Um zum Abschluss die Frage noch zu beantworten, damit ist meine Ruhelage dann "asymptotisch stabil", weil alle EW der Jacobi-Matrix negativ sind

VG
Dino

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