Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Differentialgleichung / Wärmeübertragung Physik

Differentialgleichung / Wärmeübertragung Physik

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Partielle Differentialgleichungen, Wärmeübertragung Physik

ChriZor96 aktiv_icon

18:23 Uhr, 09.10.2019

Hallo ich habe seit diesem Semester Physik 2. Nun machen wir die Differentialgleichungen. Leider hatte ich erst 1 Vorlesung und es war ziemlich unübersichtlich. Der Prof gab uns jedoch als kleine "Hausaufgabe" eine DGL auf diese wir lösen sollen. Ich hatte jedoch in den ersten 2 Semestern Mathematik keine DGL. Vielleicht kann mir jemand helfen bin ziemlich überfordert. Aufgabe siehe Bild

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

18:39 Uhr, 09.10.2019

Hallo,

ich lese

ϑ ʺ - β^{2} ϑ = e^{γ π}

. Korrekt?
Die Ableitung ist nach

x

, rechts steht aber nur eine von

x

unabhängige Konstnte. Korrekt?

Ich warte lieber erst einmal eine Antwort deinerseits ab. Mir erscheint die DGL wenig sinnvoll.

Übrigens habe ich meine Formel oben wie folgt eingegeben:
$\vartheta''-\beta^2\vartheta=\mathrm{e}^{\gamma\pi}$

Wenn ich deine Formel richtig gelesen habe, könntest du deine Formel wie folgt eingeben:
$\frac{\mathrm{d}^2\vartheta}{\mathrm{d}x^2}-\beta^2\vartheta=\mathrm{e}^{\gamma\pi}$, und erhieltest:

\frac{d^{2} ϑ}{d x^{2}} - β^{2} ϑ = e^{γ π}

Ich finde, von einem Mathestudenten kann man ruhig LaTeX erwarten.

Mfg Michael

ChriZor96 aktiv_icon

18:49 Uhr, 09.10.2019

Hallo am Ender der DGL ist es ein kleines „chi“. Ich studiere Wirtschaftsingenieurswesen und kein Mathematik.

\frac{d^{2} ϑ}{d x^{2}} - β^{2} ϑ = e^{γ χ}

Zugleich gilt die Bedingung gamma ungleich beta

michaL aktiv_icon

19:24 Uhr, 09.10.2019

Hallo,

ist das

χ

signifikant von dem

x

in der Ableitung verschieden?

> Ich studiere Wirtschaftsingenieurswesen und kein Mathematik.

Ok, dann darfst du was anderes für die Formeln verwenden. Hauptsache, man kann sie gut lesen!

Mfg Michael

ChriZor96 aktiv_icon

21:35 Uhr, 09.10.2019

Sorry mein Fehler konnte leider selbst die Schrift nicht mehr identifizieren. Die Ableitung ist nach chi.

\frac{d^{2} ϑ}{d χ^{2}} - β^{2} ϑ = e^{γ χ}

Vielleicht kann mir ja jetzt jemand helfen.

michaL aktiv_icon

10:42 Uhr, 10.10.2019

Hallo,

> Vielleicht kann mir ja jetzt jemand helfen.

Ja, jetzt, da wir herausklamüsert haben, worin die Aufgabe tatsächlich besteht, kann man dir auch helfen. Bitte füge daher beim nächsten mal einen Scan der Originalaufgabenstellung an. (Vermutlich wird die Hausaufgabe ja trotzdem gedruckt überreicht worden sein?!)

Ok, ich schreibe mal statt

ϑ

wieder ein

y

und statt

χ

wieder

x

. Aus

β

wird

b

und aus

γ

ein

c

.

Damit habe ich

y ʺ - b^{2} y = e^{c x}

(*)
zu lösen.

Man geht üblicherweise wie folgt vor:
1. Lösungsraum der homogenisierten Gleichung

y ʺ - b^{2} y = 0

finden
2. partikuläre Lösung finden

Zu 1.:
Die charakteristische Gleichung zu

y ʺ - b^{2} y = 0

ist

λ^{2} - b^{2} = 0

, welche die Lösungen

λ = \pm b

hat.
Nur im Fall

b = 0

sind die Lösungen identisch, weshalb man den Fall gesondert betrachten muss. Das geschieht nach 2.

Demnach hat man als Lösungsraum (im Falle

b \neq 0

{g \cdot e^{b x} + d \cdot e^{- b x} ∣ g, d \in ℝ}

.

Zu 2.:
Hier sind Varianten möglich: Variation der Konstanten (hier zu aufwändig) oder Ansatz.
Wir suchen eine Lösung

y_{0}

y ʺ - b^{2} y = e^{c x}

. Die muss ja irgendwie mit dem Term

e^{c x}

zu tun haben. Leiten wir den Term zweimal ab, so erhalten wir der Reihe nach:

c \cdot e^{c x}

c^{2} \cdot e^{c x}

Damit wird (*) zu:

c^{2} e^{c x} - b^{2} \cdot e^{c x} \overset{!}{=} e^{c x}

bzw.

(c^{2} - b^{2}) e^{c x} \overset{!}{=} e^{c x}

Ich erkenne, dass ich also einen geeigneten Faktor

k

benötige, wodurch die Gleichung stimmig gemacht wird:

y_{0} = k \cdot e^{c x}

y_{0} ʹ = k \cdot c \cdot e^{c x}

y_{0} ʺ = k \cdot c^{2} \cdot e^{c x}

Damit wird (*) zu:

k \cdot (c^{2} - b^{2}) \cdot e^{c x} \overset{!}{=} e^{c x}

Damit ergibt sich, dass

k = \frac{1}{c^{2} - b^{2}}

sein muss, woraus ich eine partikuläre Lösung

y_{0} = \frac{e^{c x}}{c^{2} - b^{2}}

erhalte.

Die Lösungsgesamtheit von (*) ist damit

{\frac{e^{c x}}{c^{2} - b^{2}} + g \cdot e^{b x} + d \cdot e^{- b x} ∣ g, d \in ℝ}

(bedenke:

c \neq b

b \neq 0

).

So, sollte nun

b = 0

gelten, so lautet (*) ja:

y ʺ = e^{c x}

Vielleicht kannst du diesen Sonderfall ja selbst knacken?!

Mfg Michael

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1481989

1481940

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?