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Differentialgleichung bei Beschränktem Wachstum
Schüler Fachschulen, 13. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 16:21 Uhr, 18.03.2006  |
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Hallo! Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Ich muss am Dienstag die Mathe-Hausaufgabe auf Folie vorstellen und verstehe irgendwie überhaupt nichts mehr, was das Thema betrifft. Die Aufgabe lautet folgendermaßen: In der Entwicklungsabteilung einer Ventilfabrik werden verschiedene Ventile getestet: In einem Wasserbehälter befinden sich 50 Liter Wasser, der Wasserzufluss bzw -abfluss wird mit zwei Ventilen geregelt. Die Zuflussgeschwindigkeit bei einem Test wird beschrieben durch: V'(t)=0,6e^(-0,01t) (t in Minuten, V'(t) in Liter pro Minute). Welches Wasservolumen ist nach einer Stunde im Behälter und mit welchem Volumen ist langfristig zu rechnen? Zeigen Sie, dass V(t) ein beschränktes Wachstum beschreibt. Nach welcher Zeit befindet sich im Behälter die doppelte Wassermenge wie zu Beginn? Wie kann man erkennen, dass die Veränderung des Wasservolumens auf ein Ventil mit einem konstanten Zufluss und ein anderes Ventil mit einem zeitabhängigen Abfluss zurückgeführt werden kann? Schonmal vielen Dank im Voraus! Viele Grüße, Kerstin |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff) | |
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Hallo, am besten klaeren wir erstmal die Frage, wieviel Wasser im Behaelter ist, wenn s Minuten vergangen sind. Das sind sicher erstmal die 50l, die am Anfang drin waren, plus der (evtl. negativen) Menge, die noch dazu fliesst. Die ist gegeben durch das Integral von V'(t) in den Grenzen zwischen 0 und s: Nun sind die einzelnen Fragen leicht zu beantworten. Welches Wasservolumen ist nach einer Stunde im Behälter V(60)... das kannst du alleine ausrechnen und mit welchem Volumen ist langfristig zu rechnen? Naja, e^-0,01s geht gegen 0 fuer s gegen unendlich. Daher verschwindet der Term langfristig und es sind 110 l im Tank. Zeigen Sie, dass V(t) ein beschränktes Wachstum beschreibt. Naja, der hintere Term ist anfangs 60 und faellt dann monton gegen 0. D.h. insgesamt steigt das Volumen im Behalter monoton von 50 auf 110. Es ist also beschraenkt. Nach welcher Zeit befindet sich im Behälter die doppelte Wassermenge wie zu Beginn? 110-60exp(-0,01s)=100 exp(-0,01s)=1/6 -0,01s=ln(1/6)=-1,79... s=179,1759... Also nach knapp drei Stunden Wie kann man erkennen, dass die Veränderung des Wasservolumens auf ein Ventil mit einem konstanten Zufluss und ein anderes Ventil mit einem zeitabhängigen Abfluss zurückgeführt werden kann? Dazu schaut man sich nochmal V'(t) an. V'(t)=0,6e^(-0,01t) Am Anfang (t=0) fliessen 0,6 l/m in den Behaelter, dann faellt die Geschwindigkeit gegen 0. Das kann man umformulieren, indem man annimmt, dass konstant 0,6 l/min reinfliessen und f(t) Liter raus. Es gilt f(t) zu bestimmen. Dafuer gilt 0,6-f(t)=0,6e^(-0,01t) Daraus folgt f(t)=0,6(1-e^(-0,01t)) Folglich ist der Einfluss konstant und der Abfluss zeitabhaengig. Cheers, Alex |
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